מתמטיקה - תורת המספרים/סוגי מספרים
תורת המספרים ונושאים מתמטיים
גרסה ראשונה מספרים ראשוניים,
משוכללים, מרסן, פרמה, ידידים,
חברותיים, פיבונאצ'י,
סטירלינג, קרמייקל ועוד.
מאגר מת"ל במכללת קיי, באר-שבע

הקדמה

בראש ובראשונה, תודתי נתונה לסופר אהרן מוריאלי על הרעיון להקים קובץ ייחודי זה בשפה העברית.
עריכת הקובץ וליקוט החומרים נראו לי לעתים כפעולה אינסופית של אינטגרציה בחלקים, ולולא
ההנחיות, ההערות על ארגון החומר, וביקורת על ניסוחים ענייניים הקשורים למהות שהתקבלו מאהרן,
קובץ זה לא היה מגיע לידי סיום והצגה ברמה הראויה.

חלקים נכבדים מהחומר שלפניכם מובאים כלשונם מתוך ספרו של אהרן מוריאלי, "הקסם שבמספרים",
שיצא לאור בהוצאה פרטית בשנת 1980.  הוא מצוי בספריות של האוניברסיטאות או סמינרים למורים,
והמחבר החל לכתוב מספר פרקים ממנו מחדש ובהרחבה, וכן הוסיף כמה פרקים חדשים.
תוכן העניינים של הספר מפורט בהמשך.
טעימות מכל ספריו של אהרן מוריאלי מוצגות באתר "סימניה".
נוסף לכך ראוי לעיון הספר "ריבועי קסם", שהוא יחיד בסוגו בעברית.
פרקים מלאים, דוגמאות של ריבועי קסם מתמטיים מסוגים שונים ושיטות לבנייתם מוצעים לעיונכם
באתר המרכז לתכנון לימודים של מכללת קיי.

הערה חשובה:
הקפדנו לבדוק את ההגדרות והעובדות ביותר ממקור אחד. עם זאת, אנו מודעים לכך שמספר נוסחאות/ביטויים
מתמטיים אינם מוצגים כראוי, כתלות בסוג הדפדפן ובעיקר כתוצאה מכך שההעתקה מקובץ המקור לממשק אינטרנטי
אינה עוברת באופן חלק, בפרט כאשר מדובר בטקסט מתמטי. העדפנו להציג את הכתוב כטקסט על פני קבצי תמונה.
על מנת לפתור בעיה זו ולהציג לגולש טקסט מהימן, מצורפים קבצי המקור מתוך הספר "הקסם שבמספרים" באדיבותו

של אהרן מוריאלי:

 

מספרים ראשוניים (מספרי מרסן, פרמה, וילסון, סופי ז'רמן)

מספרים משוכללים ומספרי מרסן

המשפט הקטן של פרמה, מספרים פסאודו-ראשוניים ומספרי קרמייקל

המשפט האחרון של פרמה
המספר ומחלקיו (מספרים עודפים, חסרים, משוכללים, כמעט-משוכללים, משוכללים למחצה,
                        מולטי-משוכללים, מספר המחלקים, סכום ומכפלת המחלקים של מספר,
                        שרשרת מחלקי מספרים, מספרים ידידים).

משולש פסקל - סקירה היסטורית, תכונות המשולש, מקדמים בינומיים, קומבינציות והסתברות, 
                     הקשר למספרי פיבונצ'י, לוקאס, מרסן, קטלן ומספרים פיגורטיביים.
שברים מצריים - הדגמה באמצעות חידת חלוקת הגמלים.
שברים מחזוריים


 

מילות מפתח לגישה מהירה:  
---------------------------------
סוגי מספרים:

אאוקלידי אוטומורפי אי-זוגי אי-רציונלי אכילס  אלגברי  ארמסטרונג  בל  בראון דלאנוי דמוי-ידידותיים דמוי-משוכלל
הארדי-רמנוג'אן  הארשאד הילברט הרמוני  הפכיים  וילסון  זוגי  זרים   חברותיים 
חזק (ר' מלא-ריבועים)  חסר
חסר-ריבועים טבעי טרימורפי טרנסצנדנטי  כמעט-משוכלל ידידים  יתר  לוקאס מאושר  מדומה  מוזר 
מולטי-משוכלל (ר' רב-משוכלל) מושלם (ר' משוכלל) מוצקין מזל  מכפלתי משוכלל מלא-ריבועים  מלבני ממשי  מעוקב  מצולע  מרוכב  מרסן  משוכלל משוכלל למחצה (ר' דמוי-משוכלל) משוכלל יחידתי  משולש  נגדי  נגיע  נדיר  נרקיסיסטי  סופי ז’רמן סופר-יתר סופר-משוכלל סטירלינג סמית'  עודף (ר' יתר) ערפד פאלינדרומי פאן-דיגיטלי  פיבונאצ'י פסאודו-ראשוני פקטוריאלי פרידמן פריק פרמה פרקטי קאפרקר קוואזי-משוכלל קומלפקסי (ר' מרוכב) קונגרואנטי קטלן  קרמייקל ראשוני ראשוני למחצה רב-משוכלל ריבועי רעים (ר' ידידים)  רציונלי  שופע (ר' יתר) שלם  שמור  שמח (ר' מאושר) שרדר


נושאים מתמטיים נוספים:

המספר ומחלקיו , המשפט האחרון של פרמה, המשפט הקטן של פרמה,  GCD   LCM  שברים מצריים
משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' השערת קולץ  קומבינטוריקה (צירופים, חליפות, תמורות)
חלוקת K כדורים ל-N תאים מספרים ראשוניים בריבועי קסם עצרת השערת גולדבך
שלשות פיתגוריות עקרון ההכלה-הדחה מתמטיקאים על ציר הזמן משולש פסקל



 

מקורות (לפי א"ב):
הקסם שבמספרים/ אהרן מוריאלי. תוכן עניינים

פרק א' 

צורתם של מספרים

4

פרק ב'

חקירות במספרים ריבועיים

20

פרק ג'

משולשים פיתגוריים

34

פרק ד'

חקירות במספרים מעוקבים

45

פרק ה'

עוד על המספרים המשולשים

60

פרק ו'

עוד על המספרים הריבועיים

69

פרק ז'

המספר ומחלקיו

105

פרק ח'

הכפל ודרכיו

112

פרק ט'

מספרים ראשוניים

131

פרק י'

מספרים משוכללים

161

פרק י"א

השורש ה"ספרתי"

168

פרק י"ב

ריבועי קסם

186

פרק י"ג

סימני התחלקות

221

פרק י"ד

שברים מחזוריים

243

פרק ט"ו

דגשים של מספרים ועוד דברים משונים

267

פרק ט"ז

משחקים, שעשועים, חידות וכל השאר

295

פרק י"ז

תשובות

310

ביבליוגרפיה

 

319



ויקיפדיה העברית.
ויקיפדיה הלועזית.

ספרים לעיון נוסף:
אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות א'+ב'/ בנו ארבל.
גליונות לחשבון/ שמואל אביטל.
האיש שאהב רק מספרים/ פול הופמן.
מבוא למתמטיקה/ אברהם הלוי פרנקל.
מבוא לתולדות המתמטיקה א'+ב'/ שבתאי אונגורו.
מספרים מכושפים - על חיתוך הזהב, סדרת פיבונאצ'י ועוד פנינים מתמטיות/ אלי מיטב.
מתמטיקאים וארועים גדולים בתולדות המתמטיקה/ בנו ארבל
מתמטיקה בהנאה/ שמואל אביטל.
מתמטיקה ומתמטיקאים/ אליעזר שישא.
קיצור תולדות המתמטיקה/ בנו ארבל.
ספר המספרים/ דיוויד וולס.
תורת המספרים האלמנטרית/ דיוויד ברטון.

 

       

טבלת סוגי המספרים

מספרים אאוקלידיים
Euclidean Numbers

לכל מספר ראשוני p, מספר אאוקלידי הוא מספר מהצורה ( p*+1  ) כך,

שהמספר  *p הוא מכפלת כל המספרים הראשוניים הקטנים או שווים למספר p.

סדרת המספרים האאוקלידיים הראשונים הם  3,7,31,211,2311,30031 .

חישוב לדוגמה של המספר האאוקלידי השישי, עבור המספר הראשוני השישי,  13

2*3*5*7*11*13+1= 30031

מספר זה הוא פריק, בעוד חמשת המספרים האאוקלידיים הראשונים הם ראשוניים.

שאלות פתוחות: האם ישנם אינסוף מספרים אאוקלידיים ראשוניים?

                       האם ישנם אינסוף מספרים אאוקלידיים פריקים?

 

מספרים אוטומורפיים
Automorphic Numbers

מספר אוטומורפי הוא מספר שכל חזקותיו מסתיימות בספרותיו של המספר עצמו.
מספר אוטומורפי לדוגמה: 5, משום שכל חזקותיו מסתיימות ב-5: 25, 125, 625...
מספר אוטומורפי נוסף, למשל, הוא 76.

מספרים אי-זוגיים
Odd Numbers

נקראים גם מספרים זכריים.
מספר אי-זוגי הוא מספר המשאיר שארית 1 כאשר הוא מתחלק ב-2.
ניסוח שקול: מספר אי-זוגי הוא מספר ש-2 אינו מחלק שלו.
כל מספר אי-זוגי הוא הפרש של שני מספרים ריבועיים עוקבים.

מספרים אי-חיוביים
Non-Positive Numbers

קבוצת המספרים השליליים והמספר אפס.

מספרים אי-רציונליים
Irrational Numbers

מספרים שלא ניתן להציגם כמנה של שני מספרים שלמים.
למשל: יחס הזהב (ר' מספרי פיבונאצ'י), π,
e, שורש של 2.
שורש של מספר ראשוני הוא אי-רציונלי.

מספרים אי-שליליים
Non-Negative Numbers

קבוצת המספרים החיוביים והמספר אפס.

מספרי אכילס
Achilles Numbers

מספר אכילס הוא מספר מלא-ריבועים (מספר חזק) שאינו ניתן להצגה באמצעות חזקה
בה הבסיס והמעריך גדולים מאחד.

סדרת מספרי אכילס:
72, 108, 200, 288, 392...
דוגמה:
225 הוא מספר מלא-ריבועים כי
32*52=225, אבל אינו מספר אכילס כי `152=225.
72 אף הוא מספר מלא-ריבועים, והוא גם מספר אכילס משום שאינו ניתן לייצוג באמצעות כתיב חזקות כדרוש.
כל מספרי אכילס הם מספרים מלאי-ריבועים, אם כי לא כל מספר מלא-ריבועים הוא בהכרח מספר אכילס.

מספרים אלגבריים
Algebraic Numbers

מספר אלגברי הוא מספר מרוכב שמהווה פתרון (שורש) של פולינום שמקדמיו רציונליים.
קבוצת המספרים הרציונליים הם תת-קבוצה של המספרים האלגבריים.
מספרים אלגבריים לדוגמה:
i , (שורש 2)

מספרי ארמסטרונג
Armstrong Numbers
Pluperfect Digital Invariants Numbers

מספר ארמסטרונג הוא מספר בעל n ספרות השווה לסכום ספרותיו כאשר כל אחת מהן מועלית בחזקת n.
מספרי ארמסטרונג הם תת קבוצה של המספרים הנרקיסיסטיים.
מספרי ארמסטרונג לדוגמה: 
153, 370, 371, 407, 1634, 8208

370 הוא מספר ארמסטרונג משום ש- 33+73+03=370.
המספר
4151=45+15+55+15 אינו מספר ארמסטרונג, שכן מעריך החזקה הוא 5, בעוד מספר הספרות
של 4151 הוא 4.

מספרי בל
Bell Numbers

מספרי בל מייצגים את סכום החלוקות האפשריות של קבוצה בת n איברים ל-k
תתי קבוצות לא ריקות (אין חשיבות לסדר האיברים בכל תת קבוצה).
למעשה, על פי הגדרתם, קיים קשר הדוק בינם לבין מספרי סטירלינג מסוג שני, וניתן לומר
כי מספר בל ה-
n-י סוכם את מספר האפשרויות של חלוקת n איברים ל-k   תתי-קבוצות לא ריקות,
כאשר
1<=k<=n.
כאמור, מספרי סטירלינג מסוג שני מייצגים את מספר החלוקות של קבוצה בת
n איברים ל-k
תתי קבוצות כאשר אין חשיבות לסדר האיברים בכל תת קבוצה.
סדרת מספרי בל
1,2,5,15,51,203…
המשמעות של מספר בל הרביעי, 15, היא שסכום האפשריות לחלק קבוצה בת 4 איברים לתת-קבוצה
אחת או שתי תתי-קבוצות או שלוש תתי-קבוצות או ארבע תתי-קבוצות מסתכם ב-15.


נדגים זאת:  נניח שנתונה קבוצה בת 4 איברים:  {a,b,c,d}  אזי


S(4,1)={{a,b,c,d}}
S(4,2)={{{a},{b,c,d}},{{b},{a,c,d}},{{c},{a,b,d}},{{d},{a,b,c}},{{a,b},{c,d}},{{a,c},{b,d}},{{a,d},{b,c}}}
S(4,3)={{{a},{b},{c,d}},{{a},{c},{b,d}},{{a},{d},{b,c}},{{b},{c},{a,d}},{{b},{d},{a,c}},{{c},{d},{a,b}}}
S(4,4)={{a},{b},{c},{d}}}

קרי  B4=S(4,1)+S(4,2)+S(4,3)+S(4,4)=1+7+6+1=15

ארבעת המחוברים הם מספרי סטירלינג מסוג שני.

מספרי בראון
Brown Numbers

מספר בראון הוא מספר מהצורה x!+1=y2, קרי העצרת של המספר ועוד אחד שווה למספר ריבועי.
מספרי בראון לדוגמה: 
7!+1=712, 4!+1=52

מספרי גויגה
Giuga Numbers

מספר גויגה הוא מספר פריק שכל אחד ממחלקיו הראשוניים pi מחלק את הביטוי (n-pi)/pi.
ניסוח שקול: אם
pi הוא מחלק ראשוני, אז הביטוי (n-pi) מתחלק ב- 2((pi

סדרת מספרי גויגה: 30, 858, 1722, 66198...
למשל, מחלקיו הראשוניים של 858 הם 2, 3, 11, 13, ואכן כל אחד ממחלקים אלו מחלק את הביטוי
הרשום בהגדרה כנדרש.
רק
 מספרים חסרי-ריבועים יכולים להיות מספרי גויגה, וזאת מכיוון שכל מחלקיו הראשוניים
של מספר זה חיבים להיות שונים.

מספרי דלאנוי
Delannoy Numbers

מספר דלאנוי הוא מספר טבעי המייצג את מספר המסלולים האפשריים לעבור בסריג/רשת מלבניים, מהפינה
הדרום-מערבית לעבר הפינה הצפון-מזרחית, כאשר מותר לנוע בצעדים בודדים צפונה, מזרחה,
או בכיוון צפון-מזרח על האלכסון.
אם נתאר זאת על ציר המספרים, הפינה הדרום-מערבית, נקודת ההתחלה,  מיוצגת ע"י הזוג
הסדור (
0,0), והפינה הצפון-מזרחית, נקודת היעד, מיוצגת ע"י הזוג הסדור (m,n).

ההגדרה של מספרים מסוג זה היא רקורסיבית:
אם
m  אוn  שווים לאפס, אז D(m,n)=1, אחרת D(m,n)=D(m-1,n)+D(m-1,n-1)+D(m,n-1)

סדרת מספרי דלאנוי:
1, 3, 13, 63, 321, 1683...
נדגים את החישוב עבור סריג (2,2):

D(2,2)=

D(1,2)+D(1,1)+D(2,1)=
D(0,2)+D(0,1)+D(1,1) +  D(0,1)+D(0,0)+D(1,0) + D(1,1)+D(1,0)+D(2,0) =
1+1+D(0,1)+D(0,0)+D(1,0)  +  1+1+1 + D(0,1)+D(0,0)+D(1,0)+1+1=
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1= 13

מבחינה גרפית, סריג (2,2) מורכב מ-9 נקודות מפגש, שנסמנן משמאל לימין ומלמטה למעלה
באותיות
A עד I, כאשר A היא נקודת ההתחלה והאות I היא נקודת היעד. לפיכך, 13 המסלולים
האפשריים שתוארו למעלה הם:
ABCFI, ABEFI, ABEHI, ABEI, ABFI, AEFI, AEI, AEHI, ADEFI, ADEI, ADHI, ADGHI, ADEHI

 ר' מספרי שרדר.

מספר הארדי-רמנוג'אן
Hardy–Ramanujan Number

מספר הארדי-רמנוג'אן, 1729, הוא המספר הקטן ביותר שניתן להצגה בשני אופנים שונים כסכום של שני מספרים מעוקבים חיוביים:   13+123=93+103=1729.
1729 הוא המספר השלישי בסדרת מספרי קרמייקל וגם מספר ראשוני למחצה בשלושה בסיסים: 2, 3 ו-5.
למספר זה תכונות נוספות. ר' מספרי הארשאד.


כל הצירופים האפשריים של מספרים מעוקבים הורצו בתוכנת אקסל, עד לקבלת האינדיקציה
לגבי הייצוג הכפול של המספר 1729:



1000 = 0^3 +10^3

341 = 5^3 +6^3

1 = 0^3 +1^3

1001 = 1^3 +10^3

343 = 0^3 +7^3

2 = 1^3 +1^3

1008 = 2^3 +10^3

344 = 1^3 +7^3

8 = 0^3 +2^3

1024 = 8^3 +8^3

351 = 2^3 +7^3

9 = 1^3 +2^3

1027 = 3^3 +10^3

370 = 3^3 +7^3

16 = 2^3 +2^3

1064 = 4^3 +10^3

407 = 4^3 +7^3

27 = 0^3 +3^3

1072 = 7^3 +9^3

432 = 6^3 +6^3

28 = 1^3 +3^3

1125 = 5^3 +10^3

468 = 5^3 +7^3

35 = 2^3 +3^3

1216 = 6^3 +10^3

512 = 0^3 +8^3

54 = 3^3 +3^3

1241 = 8^3 +9^3

513 = 1^3 +8^3

64 = 0^3 +4^3

1331 = 0^3 +11^3

520 = 2^3 +8^3

65 = 1^3 +4^3

1332 = 1^3 +11^3

539 = 3^3 +8^3

72 = 2^3 +4^3

1339 = 2^3 +11^3

559 = 6^3 +7^3

91 = 3^3 +4^3

1343 = 7^3 +10^3

576 = 4^3 +8^3

125 = 0^3 +5^3

1358 = 3^3 +11^3

637 = 5^3 +8^3

126 = 1^3 +5^3

1395 = 4^3 +11^3

686 = 7^3 +7^3

128 = 4^3 +4^3

1456 = 5^3 +11^3

728 = 6^3 +8^3

133 = 2^3 +5^3

1458 = 9^3 +9^3

729 = 0^3 +9^3

152 = 3^3 +5^3

1512 = 8^3 +10^3

730 = 1^3 +9^3

189 = 4^3 +5^3

1547 = 6^3 +11^3

737 = 2^3 +9^3

216 = 0^3 +6^3

1674 = 7^3 +11^3

756 = 3^3 +9^3

217 = 1^3 +6^3

1728 = 0^3 +12^3

793 = 4^3 +9^3

224 = 2^3 +6^3

1729 = 1^3 +12^3

854 = 5^3 +9^3

243 = 3^3 +6^3

Duplicate

855 = 7^3 +8^3

250 = 5^3 +5^3

1729 = 9^3 +10^3

945 = 6^3 +9^3

280 = 4^3 +6^3

מספרי הארשאד
Harshad Numbers

נקראים גם מספרי ניבן.
מספר הארשאד הוא מספר שמתחלק בסכום ספרותיו.
מספרי הארשאד לדוגמה: 1458, 1729.
סכום ספרותיו של המספר 1729 הוא 19, ואכן 19 הוא אחד ממחלקיו של 1729.
1729 הוא המספר הגדול ביותר שמתחלק בסכום הספרות שלו (19) ובהיפוך סכום הספרות (91).
קיים רק עוד מספר אחד כזה והוא 1458, המתחלק בסכום ספרותיו (18) ובהיפוך של סכום ספרותי (81).

 

מספרי הארשאד ידידים
Harshad Amicable Pairs

זוג מספרי הארשאד ידידים הם שני מספרים ידידים שכל אחד מהם הוא מספר הארשאד.
זוג מספרי הארשאד ידידים לדוגמה: (2620,2924).
אלו מספרים ידידים משום שסכום המחלקים של 2620 לא כולל עצמו הוא 2924,
וסכום המחלקים של 2924 לא כולל עצמו הוא 2620
אלו מספרי הארשאד משום ש-2620 מתחלק בסכום ספרותיו (10) ו-2924 מתחלק גם כן בסכום ספרותיו (17) .

זוג מספרי הארשאד שמורכב ממספרים מאושרים לדוגמה: (10854650,10572550).

מספרי הילברט
Hilbert Numbers

מספר הילברט הוא מספר חיובי מהצורה 4n+1, כאשר n הוא מספר טבעי.
סדרת מספרי הילברט:
1, 5, 9, 13, 17, 21...
מספר הילברט ראשוני הוא מספר הילברט שאינו מתחלק במספר הילברט שקטן ממנו (מלבד 1).
כך יוצא שבניגוד להגדרה המוכרת של מספר ראשוני, מספר הילברט ראשוני יכול להיות מספר פריק.
סדרת מספרי הילברט ראשוניים:
5, 9, 13, 17, 21, 29, 33.
המספר 33 הוא מספר הילברט ראשוני (על אף היותו פריק), משום שאינו מתחלק באף מספר
הילברט שקטן ממנו.
המספר 25 אינו הילברט ראשוני משום שהוא מתחלק במספר הילברט 5, ולכן הוא מספר הילברט פריק.

מספרים הפכיים
Inverse Numbers

זוג מספרים הפכיים זה לזה הם שני מספרים שמכפלתם היא 1.
זוגות מספרים הפכיים לדוגמה: (3, 1/3), (7-,1/7-).
מעצם ההגדרה, למספר אפס אין מספר הפכי. כמו כן, בדומה למספרים הנגדיים,

מספרים הרמוניים
Harmonic Numbers



נקראים גם מספרי אור הרמוניים (Ore harmonic Numbers)
או מספרי אור (
Ore Numbers)
מספר הרמוני הוא מספר שהממוצע ההרמוני של כל מחלקיו הוא מספר שלם.
מספרים הרמוניים לדוגמה: 140, 28.

מספרי וילסון ראשוניים
Wilson Primes

וילסון טען שאם p הוא מספר ראשוני, אזי הוא יחלק את 1+!(1-p).
ישנם מקרים בודדים שלא רק
p מחלק את הביטוי 1+!(1-p) כסימן לראשוניותו, אלא שביטוי זה מתחלק גם ל- p2. מקרים בודדים אלה הידועים לנו עד כה הם כאשר p=5, 13, 563. לשלושת המספרים האלה ניתן השם המספרים הראשוניים של וילסון Wilson primes .


לא אחת קורה שאדם כובש את מקומו בהיכל התהילה במקרה, או בנסיבות שהוא עצמו לא חלם עליהם. כך קרה למתמטיקאי האנגלי סר ג'ון וילסון (1793-1741), אחד התלמידים המצטיינים במתמטיקה באוניברסיטת קיימברידג', שפיתח את אחד המשפטים המעניינים בתחום תורת המספרים. הוא עצמו לא ייחס לתגליתו חשיבות מיוחדת, והיא הייתה נשכחת או מתגלה מחדש כעבור שנים (כפי שקרה למשפט האחרון של פרמה) אלמלא פרסם אותה בשנת 1770 באחד מספריו המתמטיקאי האנגלי אדוארד ורינג (1736?-1798), שהיה המורה של וילסון באותה אוניברסיטה. בכך העניק ורינג לווילסון משהו מחיי הנצח הנכספים!


לא ורינג ולא וילסון פרסמו הוכחה למשפט. ייתכן שווילסון הגיע למסקנה זו על-סמך חישובים מספריים בלבד. זמן קצר לאחר מכן, בשנת 1771, הוכיח המתמטיקאי והאסטרונום הצרפתי ז'וזף לגראנז' (1813-1736) את טענתו של וילסון (שנודעה לימים בשם משפט וילסון
Wilson`s theorem ), וגם הראה שהטענה ההפוכה נכונה אף היא. כלומר, אם מספר כלשהו, n, מחלק את הביטוי 1+!(1-n) אזי מספר זה הוא ראשוני.

 

כעת ננסה ללכת בעקבות חישוביו המספריים של וילסון ולבחון את טענתו. נניח שרשמנו לפנינו את המספרים מ-1 עד 11, למשל, והכפלנו אותם זה בזה:

1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11. לפעולה זו יש שם וסימן מיוחדים במתמטיקה. השם הוא עצרת, וסימנו ! (הסימן עצמו הומצא בגרמניה בשנת 1808). פעולת הכפל שביצענו תיקרא אפוא "אחת עשרה עצרת", והיא תסומל כך: !11. ברור מאליו ש-!11 מתחלק לכל אחד מהמספרים 1 עד 11. אם נשמיט מהפעולה את המספר 11, ברור יהיה שהמכפלה של עשרת המספרים הנותרים, כלומר !10, לא תתחלק  ב-11, כי 11 הוא מספר ראשוני, ומכפלה שאינה מכילה מספר זה או אחד מכפולותיו לא תתחלק לעולם ב-11. אבל אם נוסיף למכפלה 1, ראה זה פלא! התוצאה כן תתחלק ב-11. גם המספר 1+!6=721, מתחלק ב-7 ללא שארית. אם נכליל את שתי הדוגמאות שהבאנו נוכל לומר שהביטוי 1+!(1-p) מתחלק תמידב-p, אם ורק אם p הוא מספר ראשוני.

 

 

ייתכן שווילסון בנה טבלה דומה לטבלה הבאה, אולי ארוכה יותר (אבל לא הרבה יותר ארוכה) עד שהגיע לניסוח המשפט שלו:



n

!(1-n)

1+!(1-n)

השארית של              ]/n1+!(1-n)[

טיב המספר

2

!1=1

2

0

ראשוני

3

!2=2

3

0

ראשוני

4

!3=6

7

3

פריק

5

!4=24

25

0

ראשוני

6

!5=120

121

1

פריק

7

!6=720

721

0

ראשוני

8

!7=5,040

5,041

1

פריק

9

!8=40,320

40,321

1

פריק

10

!9=362,880

362,881

1

פריק

11

!10=3,628,800

3,628,801

0

ראשוני

12

!11=39,916,800

39,916,801

1

פריק

13

!12=479,001,600

479,001,601

0

ראשוני



 

אנו מבחינים בטבלה שכאשר n הוא מספר פריק (4, 6, 8, 9, 10 ו-12) גם התוצאה תהיה מספר פריק. במקרים אלה המספר אינו מתחלק ללא שארית. כך אפשר לנסות כל מספר n. אם 1+!(1-n) מתחלק ל-n ללא שארית, אזי n הוא מספר ראשוני, ולא – הוא מספר פריק. אלא שהדבר נכון בתיאוריה, כיוון שלמעשה החישוב הוא כמעט בלתי מעשי לגבי n דו-ספרתי (לא מתקבל על הדעת לבדוק אם המספר 23, למשל, הוא מספר ראשוני על יד חילוק 1+!22 ב-23), ולא מעשי לחלוטין לגבי מספרים יותר גדולים. כיוון שכאשר n גדל, !(1-n) מגיע במהירות לגדלים שאי אפשר לטפל בהם. מסקנה: למשפט וילסון אין ערך מעשי, אף על פי שביחד עם הכיוון ההפוך שלו מספקים תנאי הכרחי ומספיק לבדיקת הראשוניות.

מספרים זוגיים
Even Numbers

נקראים גם מספרים נקביים.
מספר זוגי הוא מספר שאינו משאיר שארית כאשר הוא מתחלק ב-2.
ניסוח שקול: מספר זוגי הוא מספר ש-2 מחלק אותו.
לפי השערת גולדבך, כל מספר זוגי הגדול מ-2, הוא סכום של שני מספרים ראשוניים.

מספרים זרים
Coprime Numbers
Relatively Prime Numbers

מספרים זרים הם סדרה של לפחות שני מספרים שאין להם מחלק משותף,

קרי GCD שווה 1.

מעצם ההגדרה, המספר 1 זר לכל מספר אחר.

כל זוג מספרים ראשוניים זרים זה לזה, אבל אם רק אחד מן

המספרים ראשוני אין זה אומר בהכרח שזוג המספרים הוא מספרים זרים.

דוגמה: הזוג (17,34) אינו זוג מספרים זרים.

זוגות של מספרים זרים לדוגמא: (14,15) ,  (100,121), (17,18).

הריבועים של מספרים זרים הם גם מספרים זרים. כלומר,

אם זוג המספרים (a,b) מייצג שני מספרים זרים, אז גם הזוג

(a2,b2)  מייצג שני מספרים זרים.

בנוסף, אם הזוג (p,q)  מייצג שני מספרים ראשוניים (ולכן זרים),

אז גם הזוג (pn,qn) מייצג שני מספרים זרים עבור כל מעריך חיובי.

כמו כן, אם הזוג (a,b)  מייצג שני מספרים זרים, אז גם

הזוג (a+b, a*b)  מייצג שני מספרים זרים (סכום המספרים

הזרים ומכפלת המכפלים הזרים המקוריים).

.

מספרים חברותיים
Sociable Numbers

מספרים חברותיים הם n   מספרים טבעיים כלשהם המסודרים בשרשרת (Aliquot Sequance) כך שסכום
המחלקים של מספר כלשהו לא כולל המספר עצמו אבל כולל 1, שווה לסכום המחלקים של
המספר הקודם לו בשורה.
כאשר השרשרת באורך 2, שני המספרים בה הם מספרים ידידים, כך שמספרים ידידים הם תת-קבוצה
של מספרים חברותיים.

השרשרת של מחלקי המספרים
Aliquot Sequance

נבחר מספר כלשהו, נחשב את סכום מחלקיו (לא כולל המספר עצמו) ונקבל מספר שני. במספר השני ננהג באותה דרך שנהגנו בה במספר הראשון ונקבל מספר שלישי, וכן הלאה. פעולות אלה יוצרות שרשרת של מספרים שמסתיימת באחת מהאפשרויות הבאות:

1)      השרשרת תסתיים אחרי צעד אחד בלבד, או אם תרצו היא לא תסתיים לעולם, והמספר יחזור על עצמו. ברור שהמספר שבחרנו בו להתחיל את השרשרת הוא מספר משוכלל:

n                     המחלקים                 סכום המחלקים

6                     1, 2, 3                                   6

2)      השרשרת תסתיים כאשר נגיע אחרי שני צעדים או יותר למספר משוכלל (המספר האחרון למעשה יחזור על עצמו):

n                     המחלקים                                       סכום המחלקים

25                   1, 5                                                      6

6                     1,2,3                                                    6

3)      השרשרת תסתיים בשני צעדים כאשר רואים שבצעד השני סכום המחלקים של המספר הוא המספר שבו התחלנו את השרשרת:

n                     המחלקים                                        סכום המחלקים

       220                 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20,                        284

                             22, 14, 55, 110          
                        

       284                 1, 2, 4, 71, 142                                   220

      לזוג מספרים כזה קוראים מספרים רֵעים. אנו נקדיש להם חלק נפרד בפרקנו.

4)      השרשרת תסתיים במספר 1, כאשר המספר הוא מספר ראשוני, או כאשר בצעד לפני האחרון סכום המחלקים הוא מספר ראשוני:

 

n                     המחלקים                                       סכום המחלקים

       12                   1, 2, 3, 4, 6                                         16

       16                   1, 2, 4, 8                                              15

       15                   1, 3, 5                                                  9

       9                     1, 3                                                     4

       4                     1, 2                                                     3

       3                     1                                                          1

5)      השרשרת תסתיים כאשר נגיע אחרי כמה צעדים (יותר משניים) למספר הראשון שהתחלנו בו:

n                     מספר המחלקים                             סכום המחלקים

12,496            19                                                       14,288   

14,288            19                                                        15,472                  

15,472            9                                                          14,536

14,536            15                                                        14,264   

14,264            7                                                          12,496

חזרנו למספר הראשון! זוהי שרשרת מפורסמת בת 5 חוליות, והיא השרשרת הקטנה ביותר מסוגה במובן זה שאין שרשרת דומה שהחוליות שלה מורכבות ממספרים קטנים יותר. שרשרת אחרת היא שרשרת המתחילה במספר 14,316 ויש בה 28 חוליות. שתי השרשרות נתגלו בשנת 1918. למספרים המרכיבים שרשרות מסוג זה קוראים מספרים חברותיים Sociable Numbers.

6)      השרשרת לא תסתיים לעולם והמספרים לא יחזרו על עצמם. בגבול האלף ישנם חמישה מספרים שמתחילים שרשרות שעדיין לא הצליחו לסיימן. המספרים הם: 276, 552, 564, 660 ו-966. את חמשת המספרים האלה מכנים חמישיית להמר Lehmer Five לזכרם של זוג המתמטיקאים האמריקאים דריק ואשתו אֶמה להמר.


       שאלות פתוחות:
       האם קיימת שרשרת מספרים חברותיים בה לפחות מספר אחד זוגי ולפחות מספר אחד אי זוגי.

 

מספרים חיוביים
Positive Numbers

מספר חיובי הוא מספר הגדול מאפס.

מספרים חסרים
Deficient Numbers

מספר חסר הוא מספר שסכום מחלקיו, לא כולל עצמו אבל כולל 1, קטן ממנו.
ניסוח שקול: מספר חסר הוא מספר הגדול מסכום המחלקים שלו, לא כולל עצמו אבל כולל 1.
ניסוח שקול: מספר חסר הוא מספר שסכום מחלקיו, כולל עצמו וכולל 1,  קטן מפעמיים המספר עצמו.
כל המספרים הראשוניים וכל חזקותיהם הם מספרים חסרים, ולכן קיימים אינסוף מספרים חסרים, בין
אם זוגיים או אי זוגיים.
כמו כן, מחלקיהם של מספרים משוכללים או של מספרים חסרים, לא כולל המספר עצמו–
אף הם מספרים חסרים.
בניגוד לשאלה הפתוחה לגבי מספרים יתרים, הרי שקיימים מספרים חסרים שגדולים
מסכום מחלקיהם בדיוק ב-1, כגון 8, שסכום מחלקיו הוא 7.
מספרים חסרים לדוגמה:
1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21....
14 הוא מספר חסר משום שסכום מחלקיו הוא 10=1+2+7 ואכן 9<14 או 9*2>14.

בתחום המאה הראשונה יש 22 מספרים יתרים והם:

 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96 ו-100.
ומה לגבי רשימת המספרים החסרים?  בתחום המאה הראשונה, כל שאר המספרים שלא נמנו עם הרשימה הקודמת, (חוץ מהמספרים 6 ו-28, שהם מספרים משוכללים), הם מספרים חסרים.

מספרים חסרי-ריבועים
Square-free Integers

מספר חסר-ריבועים הוא מספר שאין לו מחלק שהוא מספר ריבועי (מלבד 1).
דוגמה 22 הוא מספר חסר-ריבועים כי אינו מתחלק במספרים הריבועיים הקטנים ממנו:
4, 9, 16.
לעומת זאת, 27 אינו מספר מסוג זה משום שהוא מתחלק במספר הריבועי 9.
מעצם ההגדרה, מספר ריבועי אינו מספר חסר-ריבועים, משום שהוא מחלק את עצמו.
קיימת השערה שמספרי פרמה הם מספרים חסרי-ריבועים.
ר' מספרים מלאי-ריבועים.

מספרים טבעיים
Natural Numbers

מספרים שלמים וחיוביים. בתחומים מסוימים במתמטיקה, גם 0 נחשב מספר טבעי.
כל מספר טבעי ניתן להצגה של לכל היותר שלושה מספרים משולשים.

מספרים טמאים

מספר טמא הוא מספר לא-נגיע. כלומר, לעולם אינו שווה לסכום מחלקיו פחות המספר עצמו.
5 הוא המספר האי-זוגי היחידי שהוא מספר טמא.
סדרת המספרים הטמאים:
2,5,52,88,90.

מספרים טרימורפיים
Trimorphic Numbers

מספר טרימורפי הוא מספר שהמעוקב שלו מסתיים באותן ספרות.
מספר טרימורפי לדוגמה: 49, משום ש-49 בחזקה שלישית שווה ל-117649.

מספרים טרנסצנדנטיים
Transcendental Numbers

מספר טרנסצנדנטי הוא מספר מרוכב שאינו מספר אלגברי.
המספרים הטרנסצנדנטיים הם תת-קבוצה של המספרים האי-רציונליים,
וקנטור הוכיח כי רובם של המספרים האי-רציונליים הם מספרים טרנסצנדנטיים.

במילים אחרות, אלו מספרים אי-רציונלים שאינם מספרים אלגבריים ולכן מספרים מסוג
זה אינם יכולים להיות פתרון של משוואה אלגברית
f(x)=0 שמקדמיה מספרים שלמים.

 

מספרים ידידים
Amicable Numbers

נקראים גם מספרים ידידותיים או מספרים רֵעים או מספרים נאהבים.
מספרים ידידים הם זוג מספרים שכל אחד מהם שווה לסכום מחלקיו של המספר האחר, לא כולל
המספר עצמו אבל כולל 1.
קרי, אם סכום מחלקיו של מספר
a (חוץ מהמספר עצמו) שווה למספר b, וסכום מחלקיו של מספר b שווה למספר a - אזי שני המספרים האלה ייקראו מספרים ידידים. הזוג הראשון והקטן ביותר הם המספרים 220 ו-284. מחלקיו של המספר הראשון הם: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284 ומחלקיו של המספר השני הם: 1+2+4+71+142=220.

הקשר בין שני המספרים האלה היה ידוע עוד מימי פיתגורס (500 שנה לפני הספירה), ולגבי הקדמונים הם סימלו הרמוניה מלאה, ידידות ואהבה. נאמר מפי פיתגורס ש"ידיד הוא האני האחר של אדם בדיוק כמו המספרים 220 ו-284".  ההיסטוריון והסוציולוג הערבי איבן ח'לדון (1332‏-1406) כותב בספרו המפורסם אל-מוקדמה: "..נזכיר את העיסוק במלאכת עשיית הקמעות שהייתה אחראית למודעוּת שלנו למעלותיהם של שני המספרים הידידים 220 ו-284. אמני הקמעות מדגישים שלשני מספרים אלה יש תפקיד מיוחד בכינון יחסי שיתוף וידידות בין שני אנשים. הם משמשים להכנת הורוסקופים עבורם ואת המספר החזק מבין שניהם חורתים על קמע ומעניקים אותו לאדם שמעוניינים לזכות בקרבתו או באהבתו. הקשר שעשוי להיווצר בין שני האנשים הוא אמיץ ביותר ובל יינתק. האמנים הגדולים שעסקו במלאכה זו מאשרים מניסיונם את ההשפעה שלהם."

החידונאי בן-ימינו מרטין גרדנר (2010-1914) כותב באחד מספריו (1984): "אחוות הפיתגורים ראתה בזוג המספרים 220 ו-284 סמל לידידות. כמה ממפרשי המקרא הבחינו שיעקב נתן לעשו 220 עזים ותיישים, וכן 220 רחלים ואילים (בראשית לב 15), ובכך הוא הביע  את אהבתו לעשו."

במשך דורות רבים זה היה הזוג היחיד מסוגו שידעו עליו עד שגילה בשנת 1636 המתמטיקאי הצרפתי החובב פרמה זוג נוסף המורכב מהמספרים 17,296 ו-18,416. דקרט גילה בשנת 1638 את הזוג השלישי: 9,437,056 ו-9,363,584 שהיה כבר ידוע למתמטיקאים הערבים לפניו. המתמטיקאי השוויצרי אוילר חקר את הנושא בצורה שיטתית יותר ופיתח נוסחה לגילוי מספרים כאלה. בשנת 1747 הוא פרסם רשימה של 30 זוגות וכמה שנים אחר כך הוא הרחיב את הרשימה ליותר משישים. בין הזוגות שהוא גילה היו הזוג 6,232 ו-6,368
והזוג 10,744 ו-10,856. כ-120 שנה אחרי אוילר, בשנת 1866, גילה נער איטלקי בן 16 בשם ניקולו פגניני זוג מספרים שנחשב היום לשני בגודלו, אבל משום מה פסחו עליו מתמטיקאים שונים לפניו. זהו הזוג 1,184 ו-1,210. המספרים נתגלו כנראה בדרך הניסוי והטעייה – מה שמעיד אולי על הסיכוי של חובבנים למיניהם להיכתב בדפי ההיסטוריה אם יעשו מאמץ כלשהו ואם ישחק להם המזל!

רק לאחרונה מתברר שמתמטיקאים ערבים עסקו בנושא עוד מהמאה התשיעית. הזוג שגילה פרמה, למשל, נתגלה כבר במאה ה-14 על-ידי מלומד ערבי בשם אבן אל-בנא, והזוג שגילה דקרט נתגלה כבר כמה עשרות שנים לפניו על-ידי מלומד ערבי אחר בשם מוחמד בכר יזדי (המאה ה-16). אבל התגלית המשמעותית ביותר היא העובדה שמדען ערבי בשם ת'אבת אבן קורה (826-‏901) המציא נוסחה להנפקת כמה מספרים ידידים – דווקא אותם מספרים שיוחסו לפרמה ולדקרט בגילוים במאה ה-17. האם ייתכן ששני מדענים דגולים אלה ידעו על קיומה של נוסחה זו? או שמא הם גילו אותה בדרך בלתי תלויה בנוסחתו של המלומד הערבי. אין לכך תשובה, אבל ראוי שנציג להלן את הנוסחה:

 

נוסחה לגילוי מספרים ידידים:

אם n>1 והצבת ערכים שלו בשלושת הביטויים הבאים:

     r=9*22n-1-1      p=3*2n-1           p=3*2n-1-1

תיתן מספרים ראשוניים: q, p ו-r אזי  pq*2 וגם r*2n  הם מספרים ידידים. זוהי הנוסחה של המדען הערבי ת'אבת בן קורה, שהוזכר בפסקה הקודמת. אוילר, כאמור, גילה נוסחה כללית יותר לנוסחה זו, שלא מצאנו לנכון לרשום אותה כאן.

נדגים: כאשר 2=n, אזי 5=p; 11=q ו-71=r, שהם כולם מספרים ראשוניים. נציב מספרים אלה בנוסחה ונקבל 284=71*4  ו-220=11*5*4, שהם הזוג הראשון המוכר של מספרים ידידים.

כאשר 3=n אזי 287=r, שהוא מספר לא ראשוני, ולכן אינו מתאים לנוסחה.

כאשר 4=n אזי 23=p; 47=q ו-1151=r. שלושת המספרים האלה הם מספרים ראשוניים. אם נציב מספרים אלה בנוסחה נקבל את המספר הראשון שהוא 18,416=1151*16 והמספר השני יהיה 17,296=47*23*16. זהו הזוג שנתגלה, כזכור, על-ידי פרמה.

כאשר 5=n אזי 95=q, שהוא מספר לא ראשוני, ואם נציב 6 במקום n נקבל אותה תוצאה: 95=p.

המספר הבא יהיה 7=n. במקרה זה 191=p; 383=q ו-73727=r. המספרים האלה הם מספרים ראשוניים, לכן המספר הראשון יהיה 9,437,056=73727*128 והשני יהיה 9,363,584=383*191*128. זהו הזוג שנתגלה, כזכור, על-ידי דקרט.

נשים לב שבכל הדוגמאות הנ"ל קיים גורם משותף לשני המספרים, לאמור המספרים אינם זרים זה לזה. סוף סוף הרי הם מספרים ידידים!

זהו! כאן מסתיימות אפשרויות השימוש בנוסחה זו, כיוון שהיא כבר לא טובה לכל ערך של n שהוא קטן מ-20,000! מכאן אנו מבינים שקיימות נוסחאות אחרות המנפיקות מספרים ידידים אחרים, אבל איש לא מצא עדיין את הנוסחה האחת שתוכל להנפיק את כל המספרים הידידים האפשריים – כמו, למשל, הנוסחה המנפיקה את כל המספרים המשוכללים (ראה הפרק המיוחד על מספרים אלה).

כאן המקום  לציין שמספר המספרים הידידים שנתגלו נכון ליוני 2006 עולה על 11 מיליון, והמספר גדל מחודש לחודש. כל המספרים מתועדים ואפשר להוריד אותם מהאינטרנט. אנו נסתפק בהצגת עשרת הזוגות של המספרים הידידים לפי גודלם, ולא לפי סדר גילויים: (220, 284 – מקדמת דנא); (1184, 1210 - נתגלה על-ידי הנער פגניני); (2620, 2924); (5020, 5564 - אוילר); (6232, 6368 – אוילר); (10744, 10856 – אוילר); (12285, 14595 – בראון בשנת 1939); (17296, 18416 - פרמה); (63020, 76084); (66928, 66992 - אוילר).

 

הרוב המכריע של המספרים הידידים הם מספרים זוגיים. ישנם כמה זוגות ששני המספרים שלהם הם מספרים אי-זוגיים; הקטן שבהם הוא הזוג השביעי ברשימה לעיל. לא ידוע אם קיימים זוגות שבהם אחד המספרים הוא זוגי והשני הוא אי-זוגי. לא ידוע אם קיים זוג שבו שני המספרים זרים זה לזה. זה אומר שבין שני המספרים קיים לפחות גורם משותף אחד.

הגדול מבין זוג המספרים הידידים הוא מספר חסר.

בשנת 1986 טען המתמטיקאי והחידונאי האמריקאי המפורסם מרטין גרדנר, על סמך הנתונים שהיו אז בידיו, שסכום כל זוגות המספרים הידידים הזוגיים חייב להתחלק ב-9. הוא אמנם טעה, אבל המקרים המפריכים טענה זו הם נדירים ביותר.     

 

נסיים פרק זה בציון כמה שאלות לא פתורות:

1.      האם יש אינסוף של מספרים ידידים?

2.      האם ייתכן שיהיו זוגות של מספרים שאחד מהם הוא מספר זוגי והשני אי-זוגי?

3.      האם ייתכן שיהיו זוגות של מספרים שיהיו זרים זה לזה?

4.      האם יש זוג כזה, שבו הגורם הקטן ביותר במספר אחד יהיה שונה מהגורם הקטן ביותר שבשני? מובן שהשאלה חלה רק על הזוגות האי-זוגיים. בדוגמה שהבאנו לעיל, כל אחד מזוג המספרים מתחלק ב-3.

5.      האם ייתכן שאחד מהזוגות יהיה חזקה כלשהי של מספר ראשוני?

 

 

 

מספרים דמוי-ידידותיים
Quasi-Amicable Numbers

נקראים גם מספרים ידידים למחצה או מספרים מאורסים
Betrothed Numbers.
מספרים דמוי-ידידותיים הם זוג מספרים שכל אחד מהם שווה לסכום מחלקיו של המספר האחר,
לא כולל המספר עצמו וגם לא כולל את המחלק 1 (בהבדל מהמקרה של מספרים ידידים).
זוג מספרים דמוי-ידידותיים לדוגמה: (48,75).
סכום המחלקים של 48 תחת התנאים שהוזכרו בשורה הקודמת הוא 75=24+16+12+8+6+4+3+2
וסכום המחלקים של 75 הוא 48=25+15+5+3.

מספרים יתרים
Abundant Numbers

נקראים גם מספרים שופעים או מספרים עודפים.
מספר יתר הוא מספר שסכום מחלקיו, לא כולל עצמו אבל כולל 1, גדול  ממנו.
ניסוח שקול: מספר יתר הוא מספר הקטן מסכום המחלקים שלו, לא כולל עצמו אבל כולל 1.
ניסוח שקול: מספר יתר הוא מספר שסכום מחלקיו, כולל עצמו וכולל 1,  גדול ביותר מפעמיים המספר עצמו.
                
קיימים אינסוף מספרים יתרים.
כל כפולותיו של מספר יתר הם מספרים יתרים.
סדרת המספרים היתרים:
12,18,20,24,30…
מספרים יתרים לדוגמה: 12. מחלקיו של המספר 12 לא כולל עצמו הם: 1,2,3,4,6 וסכומם 16.
מחלקיו של המספר 12  כולל עצמו הם:
, 121,2,3,4,6, וסכומם 28.
לפי שני הניסוחים בתחילת ההסבר: 16>12 וגם 12*2<28
945 הוא המספר היתר האי-זוגי הקטן ביותר. סכום מחלקיו הוא 975:

: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 15 + 21 + 27 + 35 + 45 + 63 + 105 + 135 + 189 + 315   = 975

בתחום המאה הראשונה יש 22 מספרים יתרים והם: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96 ו-100. הקורא אולי הבחין בעובדה שכל המספרים האלה הם מספרים זוגיים, אבל אין להסיק מכך שכל המספרים היתרים הם מספרים זוגיים. גם אין להסיק מכך שכל המספרים הזוגיים הם מספרים יתרים. על כך יעיד חסרונם של כמה מספרים זוגיים בתחום המאה מהרשימה הנ"ל. עם זאת ניתן לומר שמספרם של המספרים היתרים האי-זוגיים קטן יותר מהזוגיים. בתחום המאה הראשונה אין מספר אי-זוגי שהוא יתר. המספר האי-זוגי היתר הקטן ביותר הוא 945. סכום מחלקיו הוא 975:

: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 15 + 21 + 27 + 35 + 45 + 63 + 105 + 135 + 189 + 315   = 975

המתמטיקאי הצרפתי מרק דלגליז הראה בשנת 1998 שהמספרים היתרים מהווים רבע מהמספרים הטבעיים בקירוב. נציין שכל הכפולות של מספר יתר או של מספר משוכלל  הם מספרים יתרים.

מספר יתר שאינו מספר דמוי משוכלל הוא מספר מוזר.
שאלות פתוחות: האם קיים מספר יתר שסכום מחלקיו, לא כולל עצמו וכולל 1, גדול ממנו בדיוק ב-1.

 

מספרים יתרים במיוחד   
Highly Abundant Number

נקראים גם מספרים יתרים ברמה גבוהה.
מספר יתר במיוחד הוא מספר טבעי אשר סכום מחלקיו (כולל עצמו וכלל 1) הוא הגבוה ביותר עד לאותו מספר.
כלומר, סכום המחלקים של כל המספרים הקטנים ממנו, קטן מסכום מחלקיו של מספר זה.

דוגמה:
ניתן לבדוק כי סכום מחלקיו של כל מספר הקטן מ-12 נמוך מ-28, ומכיוון
שסכום מחלקיו של המספר 12 הוא
1+2+3+4+6+12 = 28, אזי 12 הוא מספר יתר במיוחד.
נמשיך את הבדיקה:
סכום מחלקיו של המספר 13 הוא
1+13 = 14.
סכום מחלקיו של המספר 14 הוא
1+2+7+14 = 24.
סכום מחלקיו של המספר 15 הוא
1+3+5+15 = 24.

סכום המחלקים של שלושת מספרים אלו נמוך מ-28 (סכום המחלקים של 12), ולכן אינם
מספרים יתרים במיוחד
לעומת זאת, סכום מחלקיו של המספר 1
6 הוא 1+2+4+8+16 = 31, ומכייוון ש-31>28, הרי ש-16 הוא המספא היתר במיוחד הבא בתור לאחר 12.

סדרת המספרים היתרים במיוחד מתחילה כך: ...1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16

 

מספרים יתרים פרימיטיביים   
Primitive Abundant Number

מספר מסוג זה הוא מספר יתר שכל מחלקיו הם מספרים חסרים.
דוגמה: המספר 70 הוא מספר יתר משום שסכום מחלקיו הוא 74.
מחלקי המספר 70 הם::
1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, וסכומי המחלקים של כל אחד ממספרים אלו
הם בהתאמה:
0, 1, 1, 1, 8, 10, 13.
המספרים בשורה הקודמת הם מספרים חסרים, ומכאן שהמספר 70 הוא מספר יתר פרימיטיבי.
קיים מספר אינסופי של מספרים מסוג זה, וכל כפולה של מספר יתר פרימיטיבי במספר טבעי היא מספר יתר.

 

 

מספרים סופר-יתרים
Superabundant Number

מספר סופר-יתר הוא מספר טבעי פריק אשר סכום מחלקיו הוא הגבוה ביותר עד לאותו מספר.

סדרת המספרים הסופר יתרים מתחילה כך: ...1,2,4,6,12,24,36,48

טבלת סכום המחלקים של המספרים הטבעיים עד 40 להדגמת מספרים יתרים במיוחד
ומספרים סופר-יתרים (מקווקוים ומודגשים בהתאמה לפי סוג התכונה).

ניתן לראות כי כל מספר סופר-יתר הוא מספר יתר-במיוחד,
אבל לא כל מספר יתר-במיוחד הוא מספר סופר-יתר.
בפרט, כל מספר סופר-יתר הוא מספר פריק ברמה גבוהה.



מספר

סכום המחלקים של המספר

סכום המחלקים חלקי המספר

מספר

סכום המחלקים של המספר

סכום המחלקים חלקי המספר

1

1

1.000

21

32

1.524

2

3

1.500

22

36

1.636

3

4

1.333

23

24

1.043

4

7

1.750

24

60

2.500

5

6

1.200

25

31

1.240

6

12

2.000

26

32

1.231

7

8

1.143

27

33

1.222

8

15

1.875

28

34

1.214

9

13

1.444

29

35

1.207

10

18

1.800

30

36

1.200

11

12

1.091

31

37

1.194

12

28

2.333

32

38

1.188

13

14

1.077

33

39

1.182

14

24

1.714

34

40

1.176

15

24

1.600

35

48

1.371

16

31

1.938

36

91

2.528

17

18

1.059

37

38

1.027

18

39

2.167

38

60

1.579

19

20

1.053

39

56

1.436

20

42

2.100

40

90

2.250



מספרים לא שגרתיים
Unusual Numbers

מספר לא שגרתי הוא מספר טבעי n שהגורם הראשוני הגדול ביותר שלו גדול ממש מ(שורש n).
כל המספרים הראשוניים הם מספרים לא שגרתיים משום שהם מתחלקים בעצמם, קרי בגורם הראשוני
n שבוודאי גדול מ(שורש n).
מספר ריבועי אינו מספר לא שגרתי משום שהגורם הראשוני הגדול ביותר שלו הוא (שורש
n) בעצמו,
ולכן אינו גדול ממש מעצמו.
לא כל המספרים הפריקים הם מספרים לא שגרתיים. למשל: 27, מכיוון ש-3 קטן מ(שורש 27
(  .
המספר 10 פריק אבל הוא מספר לא שגרתי , מכיוון ש-5 גדול מ(שורש 10
(.

מספרי לוקאס
Lucas Numbers

מספרי לוקאס הם המספרים המרכיבים את סדרת לוקאס
 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29...
הסדרה הרקורסיבית הנ"ל מוגדרת ע"י כלל  הנסיגה:  Ln=Ln-1+Ln-2 בהינתן: L1=1,L2=3.
האומר כי  כל איבר החל מהאיבר השלישי הוא סכום שני האיברים הקודמים לו.

הגדרה זו זהה להגדרת סדרת פיבונאצ'י מלבד תנאי ההתחלה השונה עבור המספר השני.
לכל איבר בסדרת לוקאס מתקיים אי-השוויון הבא: 
an<(7/4)n

תכונות בולטות של מספרי סדרת לוקאסי:
L12+ L22+ L32+...+L (n-1)2+Ln2 =  Ln*L(n+1)-2

שאלות פתוחות: האם יש אינסוף מספרי לוקאס ראשוניים.

ר' מספרי פיבונאצ'י

מספרים מאושרים
Happy Number
s

נקראים גם מספרים שמחים.
מספר מאושר הוא מספר אשר  אם מחברים את סכום ריבועי ספרותיו בתהליך חוזר, עד לקבלת ספרה בודדת, מקבלים את המספר 1.
מספרים מאושרים לדוגמא: 31, 32, 82, 100.
השלשה הראשונה של מספרים מאושרים עוקבים:
1880,1881,1882.
דוגמה:
32+22=13-->12+32=10-->12+02=1
סדרת המספרים המאושרים: ...11,7,10,13,19,23
זוג מספרי הארשאד מאושרים לדוגמה: (10854650,10572550)

שאלות פתוחות:
האם 27 הוא המספר המקסימלי של איטרציות עד לסיום התהליך עבור כל מספר?

מספרים מדומים
Imaginary Number

מספר מדומה הוא מספר מהצורה yi, כאשר i2=-1.

מספרים מוזרים
Weird Numbers

נקראים גם מספרים משונים.
מספר מוזר הוא מספר יתר ששום צירוף של מחלקיו (לא כולל עצמו, כמובן) אינו מסתכם במספר עצמו.
למעשה, מספר מוזר הוא מספר יתר שאינו מספר דמוי-משוכלל.

פירושו של דבר שמבין מחלקיו של המספר המוזר לא תימצא תת-קבוצה של גורמים שסכומה יהיה המספר עצמו. המספר המוזר הקטן ביותר הוא 70. סכום מחלקיו של מספר זה הוא 1+2+5+7+10+14+35=74, אבל בניגוד למספר 18, למשל, שום צירוף של חלק ממחלקיו לא מסתכם ב-70.
המספרים המוזרים הם מספרים נדירים. בתוך הרבבה הראשונה ישנם רק 7 מספרים כאלה והם: 70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912,  ו-9272.
שאלות פתוחות:  אם קיים מספר מוזר אי-זוגי.

מספרי מוצקין
Motzkin Numbers

מספר מוצקין הוא מספר טבעי המייצג את מספר הדרכים לשרטט מיתרים שאינם נפגשים/נחתכים במעגל
שעל היקפו
n  נקודות. מספרי מוצקין ניתנים לחישוב באמצעות נוסחה רקורסיבית.
נשים לב שגם מעגל שבו לא עובר ולו מיתר אחד, נספר כאפשרות אחת.
סדרת מספרי מוצקין:
1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127...

דוגמה: במעגל שעל היקפו 4 נקודות: A, B, C, D, ישנן 9 אפשרויות בהתאם להגדרה של מספר מוצקין:
           האפשרות הראשונה היא מעגל שלא עובר בו מיתר. יתר האפשרויות:
           שישה מעגלים בהם עובר מיתר אחד בלבד:    AB, BC, CD, DA, AC, BD
           שני מעגלים בהם עוברים שני מיתרים כ"א:      [AB, CD], [BC, AD].

מספרים אלו מוגדרים במספר דרכים מאחר והם משמשים בענפים רבים במתמטיקה:
תורת המספרים, גאומטריה, קומבינטוריקה ועוד.

מספרי מזל
Lucky Numbers

מספר מזל הוא מספר טבעי, וכך מכונה כל איבר בקבוצת המספרים הנותרת בסוף תהליך של ניפוי מספרים,
כדוגמת התהליך המבוצע באמצעות נפת ארטוסתנס. עם זאת, נשים לב כי התהליך אינו זהה כלל לזה המתבצע באמצעות נפת ארטוסתנס ואינו קשור היותו של מספר ראשוני או פריק, שכן כל שלב בניפוי מתייחס למיקומם
בסדרה של המספרים שנותרו בשלב הקודם, וזאת נקודת הפתיחה לצורך תחילת שלב המיפוי הבא.
סדרת מספרי המזל הנותרת לאחר מספר לולאות אינסופי היא: 
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43

 

מספרי מזל  ראשוניים
Lucky Prime Numbers

מספרי מזל ראשוניים הם המספרים הראשוניים בסדרת מספרי המזל, כפי שתוארה בסעיף הקודם:

3, 7, 13, 31, 37, 43, 67, 73….

מספרים מלאי-ריבועים
Square-fu
ll Integers

נקראים גם מספרים עוצמתיים (Powerful Numbers) או מספרים חזקים.
מספר מלא-ריבועים הוא מספר שאם
p  הוא מחלק ראשוני שלו, אז גם p2 הוא מחלק שלו.
ניסוח שקול: מספר מלא-ריבועים הוא מספר אשר כל אחד ממחלקיו הראשוניים מופיע לפחות בחזקה שנייה,
                 וניתן להציג אותו באופן הבא:
n=a2b3, כאשר a ו–b הם מספרים טבעיים.
                 כלומר, מספר מלא-ריבועים הוא מכפלה של מספר ריבועי במספר מעוקב.
דוגמה: 108 הוא מספר מלא-ריבועים משום שהמספר הראשוני 3 מחלק אותו וגם
32=9 מחלק אותו.
לעומת זאת, המספר 12 אינו מלא-ריבועים, משום ש-3 מחלק אותו אבל 9 אינו מחלק אותו.
דוגמאות נוספות: 25, 32
, 32*52=225, 73=343
ר' מספרים חסרי-ריבועים.

מספרים מרוכבים
Complex Numbers

נקראים גם מספרים קומפלקסיים.
מספר מרוכב הוא מספר המורכב משני מחוברים: מספר ממשי ומספר מדומה.
המספר המרוכב מיוצג ע"י התבנית
a+bi כאשר a ו-b הם מספרים ממשיים.
i2=-1 ולכן i הוא השורש של 1-.

מספרי מרסן ומספרי מרסן ראשוניים
Mersenne Numbers/ Mersenne Primes

מספר מרסן הוא מספר טבעי מהצורה Mn=2n-1.
(ישנה ההגדרה מחמירה יותר המצריכה את היותו של
n מספר ראשוני).

אם
n מספר פריק, אז מספר מרסן המתקבל פריק אף הוא.
אם
n מספר ראשוני, אז מספר מרסן המתקבל יתכן שיהיה מספר ראשוני או פריק.
למשל, עבור
n=3 נקבל M3=7 וזהו מספר מרסן ראשוני, ואילו
          עבור
n=11 נקבל M11=2047 וזהו מספר מרסן פריק (23*89).

אם מספר מרסן הוא ראשוני, אז
n יכול להיות ראשוני או פריק.
דוגמה:
M3=31 ראשוני ו-3 ראשוני.  M4=127 ראשוני ו-4 פריק. 
המספרים הראשוניים הידועים כיום כגדולים ביותר הם מספרי מרסן,
וכפועל יוצא, הנוסחה שמצא מרסן מתקיימת בהם.
סדרת מספרי מרסן עבור
n  ראשוני:... 3,7,31,127,2047,8191

באמצעות הנוסחה
2n-1(2n-1) ניווכח לדעת שכל מספר מרסן ראשוני (2n-1)  מייצר מספר משוכלל,
כאשר נכפיל אותו בביטוי
2n-1.  למשל, המספר המשוכלל המתאים למספר מרסן ראשוני 7 הוא 28,
וזאת כאשר
n=3. באותו אופן, המספר החמישי של מרסן, 31, מוביל למספר המשוכלל השלישי, 496.

מספר מרסן ראשוני הוא מספר מרסן שאינו פריק.
סדרת מספרי מרסן הראשוניים:
3, 7, 31, 127, 8191, 131071…
אם מספר מרסן הוא מספר ראשוני, אז
n מספר ראשוני. המשפט ההפוך אינו נכון.
במילים אחרות: היותו של
n מספר ראשוני הוא תנאי הכרחי אך לא מספיק להבטחת ראשוניותו של Mn.
דוגמה: M11=2047    אינו ראשוני, אך M7=127 ראשוני.

אם
Mn  הוא מספר מרסן ראשוני, אז  (Mn(Mn+1))/2 הוא מספר משוכלל.
דוגמא: עבור n=3 נקבל M3=7 שהוא מרסן ראשוני, והמספר המשוכלל המתקבל בעקבותיו לפי
הנוסחה שהוצגה הוא 28.  כל מספר מרסן ראשוני מייצג למעשה מספר משוכלל. בניסוח כללי:
כאשר מספר מרסן, המיוצג על ידי 1-
k2, הוא מספר ראשוני, אזי הביטוי (1-k2)k-12 הוא מספר משוכלל.

אאוקלידס היה מודע לכך שכל המספרים המשוכללים העונים לנוסחה זו הם מספרים זוגיים. כאלפיים שנה לאחר מכן הוכיח אוילר, בעבודה שנתגלתה בשנת 1849, אחרי מותו, שכל מספר משוכלל זוגי הוא בהכרח בעל צורה זו.

למרסן, שניסה למפות את כל מספרי מרסן הראשוניים, היו חמש טעויות בלבד: שני מספרים ברשימתו (M67 ו- M257) הוכחו כפריקים, ושלושה מספרים (M61, M89 ו-M107), שהיו צריכים להיכלל ברשימתו, לא נכללו בה.
ידוע לנו שמספרים משוכללים זוגיים הם תוצאה של מכפלת מספרי מרסן ראשוניים בחזקות של שתיים. לא ידוע לנו אם קיימים בכלל מספרים משוכללים אי-זוגיים, אבל אם קיים מספר משוכלל כזה, הרי הוא צריך להיות מספר עצום בממדיו בעל 75 גורמים ראשוניים לפחות. הראשון שהעלה את אפשרות קיומם של מספרים משוכללים אי-זוגיים היה דקרט, במכתב ששלח למרסן בשנת 1638.

לא ידוע אם קיימים אינסוף מספרי מרסן ראשוניים. כיוון שקיים יחס של אחד לאחד בין מספרים אלה
למספרים משוכללים (כלומר כל מספר ראשוני נותן מספר משוכלל, ולהפך) משפט זה יכול גם להתנסח כך: לא ידוע אם קיימים אינסוף מספרים משוכללים.

מַרַן מרסן (1588‏-1648) הוקסם מהתוצאות שהגיע אליהן פרמה בקשר למספרים המשוכללים והוא החל במחקרים משלו – מחקרים אשר העסיקו מתמטיקאים במשך דורות. אבל לפני שנדון בטיב המספרים הקרויים על שמו, נציין את תרומתו למחקר המדעי של זמנו. מרסן היה כומר פרנסיסקני צרפתי שחי רוב ימיו במנזר בפריס. הוא עסק בתחומים רבים של המדע והפילוסופיה, כגון תאולוגיה, מתמטיקה ותאוריה של המוסיקה. ביתו במנזר שימש בית ועד לחכמים ומדענים ברחבי אירופה במשך שנים רבות, והוא עצמו עמד בראש רשת ענפה של קשרי מכתבים בין אנשי מדע ברחבי אירופה. למעשה הוא שימש מעין בית-מסלקה של מכתבים ממדענים שונים, כך שכל אחד מהם ידע על תכניותיו או על הישגיו המדעיים של האחר. במיוחד הוא היווה את ערוץ התקשורת העיקרי בין אנשי תורת המספרים הצרפתים: פרמה, פרניקל, פסקל ודקרט. על רקע העובדה שבאותם ימים לא הייתה הקהילייה המדעית ממוסדת דייה, וכתבי-עת מדעיים עדיין לא נוסדו, התפקיד שנטל מרסן על עצמו היה חשוב ביותר.

בשנת 1644 הוא טען ש-1-p2 הוא מספר ראשוני אך ורק לערכים 1, 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 ו-257 של p. מרסן החשיב את המספר 1 כמספר ראשוני. כיום מתחילה הרשימה במספר 2. הוא היה מודע לכך שאם p הוא פריק אז גם התוצאה תהיה מספר פריק, אבל ההפך לא בהכרח נכון, כלומר אם p הוא מספר ראשוני, התוצאה לא חייבת להיות מספר ראשוני (בשפת הלוגיקה: זה תנאי הכרחי, אבל לא מספיק). ואכן הוא לא כלל ברשימתו את המספר 11, למשל, כיוון שאם מציבים אותו בנוסחה נקבל 211-2047=23*89 (עובדה זו הייתה ידועה מזמן, כפי שהראינו לעיל. האם הייתה ידועה גם לו? לא ברור). זכה מרסן ששמו יונצח בספר היוחסין של המתמטיקאים, בכך שמספרים ראשוניים אלה נקראים בימינו המספרים הראשוניים של מרסן (להבדיל ממספרי מרסן הכוללים אותם ואת המספרים הפריקים הנובעים מהנוסחה). נוהגים לסמן אותם בסימן Mp.

כיצד הגיע מרסן לרשימה זו – אין איש יודע! מכל מקום, לא מתקבל על הדעת שהוא בדק בפועל את טענתו, והוא עצמו הודה בכך: "כדי לקבוע שמספר המורכב מ-15 או 20 ספרות הוא מספר ראשוני – לא יעמוד לנו כל הזמן שברשותנו כדי להוכיח את הקביעה". המספר 2257 מורכב מ-77 ספרות, אז איך יכול היה לכלול אותו בנוסחתו? האם הייתה בידו נוסחה פלאית-מיסטית שעזרה לו בקביעתו? האם ידידו פרמה עזר לו בחישוביו? חידה!

נשארת העובדה המרשימה שאילו רשימת המספרים הזו הייתה לא יותר מאשר ניחוש, הרי הוא קלע לא רע כלל וכלל. בין המספר 19 ל-258 קיימים 47 מספרים ראשוניים שלגביהם התוצאה של 1-p2 יכולה להיות או מספר ראשוני או מספר פריק. הוא דייק בניחושו ב-42 מקרים וטעה בחמישה מהם בלבד! בניגוד לקטלדי, הוא לא כלל ברשימתו את המספר 29.

דורות של מתמטיקאים השקיעו ממרצם ומכישרונותיהם כדי לבדוק את המספרים שהציע מרסן. לא קשה להבחין שארבעת המספרים הראשונים, M2,3,5,7 הם מספרים ראשוניים, ואכן מספרים אלה היו ידועים מקדמת דנא. המספר M13 נתגלה עוד במחצית הראשונה של המאה ה-16 על-ידי איש אנונימי (ראה לעיל). קטלדי מיודענו גילה את המספרים M17 ו-M19 בסוף המאה ה-16. אוילר אישר בשנת 1772 כי המספר M31 הוא ראשוני, ומספר זה נחשב במשך כ-100 שנה כמספר מרסן הראשוני הגדול ביותר שידוע עליו. היה אפילו מתמטיקאי אחד שטען ב-1814 ש"זהו המספר הגדול ביותר שיתגלה בכלל בעתיד. כיוון שהם מסקרנים גרידא, אבל חסרי תועלת, לא נראה שמישהו ירצה לגלות מספר גדול מזה". איש זה לא העריך נכונה את עצמת הסקרנות האנושית, וכן לא יכול היה לתאר עצמתם של מחשבים משוכללים, שפותחו כ-150 שנה אחרי זמנו. 

הטעות הראשונה ברשימתו של מרסן נתגלתה בשנת 1876 על-ידי המתמטיקאי הצרפתי אדואר לוקס. הוא הראה ש-M67 אינו מספר ראשוני, על אף העובדה שלא היה יכול לפרקו לגורמיו (רק בשנת 1903 הצליחו לפרקו). לוקס גם הראה באותה שנה ש-M127 הוא אכן מספר ראשוני, כפי שטען מרסן. מספר זה נחשב למספר מרסן הראשוני הגדול ביותר עד שנת 1950! שבע שנים אחר כך הוכיחו שני מתמטיקאים, כל אחד בנפרד ובהפרש של שלוש שנים, שגם M61 הוא מספר ראשוני. עקב תגלית זו היו מי שקפצו וטענו שהמספר 67 ברשימתו של מרסן הוא בכלל טעות דפוס ושהוא התכוון למעשה ל-61! באשר למספר M257, הוכח בשנת 1931 שהוא מספר פריק מבלי יכולת לפרקו. הפירוק נעשה בשנת 1952 בעזרת מחשב שולחן. מלאכת הפירוק באמצעות מחשב זה ארכה 700 שעות. 20 שנה לאחר מכן, כאשר לרשות המתמטיקאים עמד מחשב אלקטרוני משוכלל נדרשו בסך הכול 48 שניות כדי לפרקו.

מכל הדיון הנ"ל עולה שלמרסן היו, כאמור, חמש טעויות בלבד: שני מספרים ברשימתו (M67 ו- M257) הוכחו כפריקים, ושלושה מספרים (M61, M89 ו-M107), שהיו צריכים להיכלל ברשימתו, לא נכללו.

מספרי מרסן הראשוניים M89 ו-M107 נתגלו על ידי אותו מתמטיקאי בהפרש של 3 שנים (1911, 1914). למעשה, החיה מחדש השימוש במחשבים את העניין בגילוי המספרים הראשוניים של פרמה ובעקבותיו גילוי המספרים המשוכללים. גילוי של מספר מרסן ראשוני כלשהו היה מאורע תקשורתי שזכה לתהודה בעיתונות הכתובה והאלקטרונית. כאשר גילו בשנת 1963 באוניברסיטת אילינוי באורבָּנָה את   M11213 (מרסן מס' 23), הייתה המחלקה למתמטיקה של האוניברסיטה כה גאה עד כי הורה ראש המחלקה לבייל את כל המעטפות שלו בבול מודפס של משרד הדואר האמריקאי. בול זה היה בשימוש שם עד שנת 1976.

בארצות-הברית מתקיים מחקר באמצעות האינטרנט שבו משתתפים מאות מתנדבים. הם משתמשים במחשביהם האישיים כדי לבצע חלקים שהוקצו להם מהמחקר הגדול. מתנדבים זוקפים לזכותם גילויים של שמונת מספרי מרסן הראשוניים הגדולים ביותר. הוטל עליהם גם לבדוק את כל החזקות של p עד 15 מיליון. נכון לאוקטובר 2009, נתגלו בסך הכל 47 מספרי מרסן ראשוניים, והגדול שבהם הוא M43112609. זהו מרסן מס' 45. מספר זה תואם את הסדר הכרונולוגי של הגילוי. ואילו מרסן מס' 47, שנתגלה מאוחר  יותר, הוא קטן ממנו. זהו גם המספר הראשוני הגדול ביותר שנתגלה. הוא מורכב מיותר משנים עשר מיליוני ספרות. כיום יש אתר מיוחד באינטרנט שעוקב אחר הגילויים האחרונים של מספרי מרסן ראשוניים ומפרסם אותם.


שאלות לא פתורות 

 

ישנן כמה שאלות שאין עליהן עדיין תשובה:

ידוע לנו שמספרים משוכללים זוגיים הם תוצאה של מכפלת מספרי מרסן ראשוניים בחזקות של שתיים. לא ידוע לנו אם קיימים בכלל מספרים משוכללים אי-זוגיים, אבל אם קיים מספר משוכלל כזה, הרי הוא צריך להיות מספר עצום בממדיו בעל 75 גורמים ראשוניים לפחות. הראשון שהעלה את אפשרות קיומם של מספרים משוכללים אי-זוגיים היה דקרט, במכתב ששלח למרסן בשנת 1638.

לא ידוע אם קיימים אינסוף של מספרי מרסן ראשוניים. כיוון שקיים יחס של אחד לאחד בין מספרים אלה למספרים משוכללים (כלומר כל מספר ראשוני נותן מספר משוכלל, ולהפך) משפט זה יכול גם להתנסח כך: לא ידוע אם קיימים אינסוף מספרים משוכללים. אנו יודעים שהם נעשים נדירים יותר ויותר ככל שמתקדמים בציר המספרים, אבל אנו יודעים גם שמתגלים כל הזמן עוד ועוד מספרים כאלה. לפי שעה, המסקנה המסתמנת היא שסביר שקיימים אינסוף של מספרי מרסן ומספרים משוכללים.

לא ידוע אם יש אינסוף מספרי מרסן פריקים. נראה שכן.

 

מספרים ממשיים
Real Numbers

איחוד של קבוצת המספרים הרציונליים וקבוצת המספרים האי-רציונליים.

מספרים מעוקבים
Cube Numbers

מספר מעוקב הוא מספר שהוא החזקה השלישית של מספר אחר.
דוגמה למספר מעוקב: 64. זו החזקה השלישית של המספר 4.
סדרת המספרים המעוקבים:
1,8,27,64…

מספרים מצולעים
Polygonal Numbers

מספר מצולע n הוא מספר הניתן לייצוג גרפי ע"י בתבנית של מצולע משוכלל המורכב מ-n נקודות.
כדי למצוא את המספר המצולע ה-
n-י מסדר k, ניעזר בנוסחה:  an=n[n(k-2)-(k-4)]/2.
למשל, מהו האיבר השלישי בסדרת המספרים המחומשים? נציב
n=3, k=5 ונקבל a3=12.
נוסחת המספרים המשולשים:
n(n+1)/2

נוסחת המספרים הריבועיים: n2

נוסחת המספרים המחומשים: n(3n-1)/2
נוסחת המספרים המשושים: n(4n-2)/2

 

 

מספרים משולשים
Triangular Numbers
מספר משולש הוא מספר טבעי
n אשר ניתן לייצוג גרפי באמצעות n נקודות היוצרות משולש שווה צלעות
שאורך צלעו
n. האיבר ה-n-י בסדרה הוא סכום n המספרים הטבעיים החל מ-1 וניתן ע"י הנוסחה:
n(n+1)/2.
סדרת המספרים המשולשים:
1, 3, 6, 10...
בעזרת 10 נקודות אפשר לייצג משולש שווה צלעות שארך צלעו היא 4
(a4=10)
סכומם של שני מספרים משולשים עוקבים הוא מספר ריבועי.
איך נבדוק אם מספר הוא מספר משולש? נכפיל מספר זה ב-8 ונוסיף 1 למכפלה. אם התוצאה
היא מספר ריבועי, הרי שהמספר ממנו התחלנו הוא מספר משולש. ולא- המספר אינו משולש.
אין מספר מעוקב שהוא גם מספר משולש. יתרה מזאת, אין מספר משולש שהוא מספר בחזקה
רביעית או בחזקה חמישית.
ישנם 3 מספרים משולשים שכל אחד מהם מורכב מספרות זהות: 55, 66, 666, ואילו המספר הבא מסוג
זה הוא מספר גדול בן 30 ספרות.
כל מספר טבעי – או שהוא משולש בעצמו, או שאפשר לבטאו כסכומם של שני מספרים משולשים.


מספרים ריבועיים
Square Numbers
מספר ריבועי הוא מספר טבעי שהוא ריבועו של מספר אחר.
מספר ריבועי לדוגמה: 144. זהו ריבועו של המספר 12.

מספר ריבועי ניתן לייצוג גרפי באמצעות n נקודות היוצרות ריבוע שאורך צלעו n.
סדרת המספרים הריבועיים:
1, 4, 9, 16...
מספר ריבועי אינו יכול להסתיים בספרות:
2, 3, 7, 8.
האיבר במקום ה-
n-י מייצג ריבוע המיוצג באמצעות an=n2 נקודות.
מכפלת ארבעה מספרים שלמים עוקבים קטנה ב-1 ממספר ריבועי.
כל המספרים הריבועיים מתחלקים ב-4 ללא שארית או עם שארית 1.
מספר ריבועי
n2 ניתן לכתיבה בצורה 3m או 3m+1.

מספרים מלבניים

Rectangular Numbers
מספר מלבני הוא מספר טבעי n אשר ניתן לייצוג גרפי באמצעות n נקודות היוצרות מלבן שרוחבו n
ואורכו
n+1.
כל מספר בסדרת המספרים המלבניים מתקבל מהוספת המספר הזוגי העוקב לאיבר
הקודם לו:
2, 6, 12, 20...

מספרים מרוכבים
Complex Numbers

מספר מרוכב הוא מספר מהצורה x+yi, כאשר x  ו- y מספרים ממשיים ו i2=-1-. x הוא החלק הממשי של המספר המרוכב ו-y הוא החלק המדומה של המספר המרוכב.

מספרים משוכללים
Perfect Numbers

נקראים גם מספרים מושלמים.
מספר משוכלל הוא מספר שסכום מחלקיו, לא כולל עצמו אבל כולל 1, שווה למספר עצמו.
ניסוח שקול: מספר משוכלל הוא מספר שסכום מחלקיו, כולל עצמו וכולל 1, שווה לפעמיים המספר עצמו.

ארבעת המספרים המשוכללים הראשונים היו ידועים עוד מימי קדם:

1+2+3=6

1+2+4+7+14=28

1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064=8128

אפשר לראות גם שכל מספר משוכלל הוא מספר זוגי המורכב מסכום המספרים העוקבים הראשונים עד שהסכום מגיע למספר עצמו:

1+2+3=6

1+2+3+4+5+6+7=28

1+2+3….+29+30+31=496

1+2+3….+125+126+127=8128 וכן הלאה

במובן זה, כל המספרים המשוכללים הם מספרים משולשים, וככאלה, כל אחד מהם (חוץ מהראשון) הוא סכום של המספרים המעוקבים האי-זוגיים הראשונים עד מספר מסוים - עד a/2 2. כיוון שהמספרים המשוכללים הם מספרים זוגיים, מספר האיברים של המספרים המעוקבים חייב להיות זוגי, כיוון שרק למספרים מרובעים יש מספר מחלקים אי-זוגי (ראה הפרק על "המספר ומחלקיו"). כאשר a=2  אזי המספר 28 יהיה מורכב משני מספרים מעוקבים, וכאשר a=6 אזי המספר 8128 מורכב משמונה מספרים מעוקבים.

13+33=28

13+33+53+73=496

,13+33+53+73+93+113+133+153=8128 וכן הלאה.

במשך שנים רבות התעניינו פילוסופים ותאולוגים במשמעות המיסטית והדתית של מספרים אלה יותר מאשר בתכונותיהם המתמטיות. אחדים ראו במספרים 6 ו-28 כשני מספרי היסוד המשמשים את "האדריכל העליון". 6 מסמל את ששת ימי הבריאה, ו-28 את מחזור הלבנה. אוגוסטינוס הקדוש (354‏-430) מעיר על המספר 6: "שש הוא מספר מושלם בזכות עצמו, ולאו דווקא בגלל שאלוהים ברא את הכול בשישה ימים. ההפך הוא הנכון: אלוהים ברא את הכול בשישה ימים, מכיוון שמספר זה הוא מושלם, והוא נשאר מושלם גם אם מעשה הבריאה לא היה קיים".

התאולוג האנגלי אלקוּאִין טען שהיצירה השנייה של העולם אחרי המבול הייתה פגומה, כיוון שהיא נוצרה מצאצאיהם של 8 אנשים שנכנסו לתיבה (נוח ואשתו, שלושת בניו ושלוש כלותיו). שמונה, לדעתו, הוא מספר פגום, לא מושלם.

הראשון שהתייחס למספרים אלה התייחסות מדעית היה אאוקלידס בספרו הידוע יסודות, שנכתב כשלוש מאות שנה לפני הספירה. למראית עין זהו ספר שעוסק ביסודות הגאומטריה, כיוון שגם המספרים מיוצגים בו כקטעים. למעשה הוא מכיל כמה פרקים שעוסקים בתורת המספרים. טענה מס' 36 בפרק התשיעי של ספרו אומרת: "אם נכפיל בזה אחר זה את המספרים, החל במספר 1, בשתיים עד שסכומם של מכפלות אלה יהיה מספר ראשוני, ואת הסכום נכפיל במספר האחרון שבסדרה, התוצאה תהיה מספר משוכלל".

כדי להמחיש טענה זאת, נתחיל במספר 1, נכפיל אותו בשתיים ואת התוצאה נכפיל שוב בשתיים עד שסכום המספרים מגיע ל-1+2+4=7, שהוא מספר ראשוני. את המספר הראשוני הזה נכפיל במספר האחרון שהוא 4 ונקבל 28=7*4, שהוא המספר המשוכלל השני. המספר המשוכלל הבא יהיה 1+2+4+8+16=31, שהוא מספר ראשוני, כפול המספר האחרון בסדרה, שהוא 16, ונקבל 496, שהוא המספר המשוכלל השלישי. את הדוגמה הראשונה אפשר לבטא כך: 28=(1- 23) 22, והשנייה כך:          496=(1- 25) 24.

אאוקלידס מוכיח את טענתו כאשר הוא מסתייע בעובדה שהייתה ידועה מכבר לאנשי פיתגורס, שסכום האיברים הראשונים (k) בסדרה גאומטרית הוא
 1-
k2=k-12+....+1+2+4. למשל: 127=1‏-27=21+22+23+24+25+26+ 20

כאשר בתהליך זה נגיע למספר שהוא מספר ראשוני, למשל 127, אזי המכפלה שלו עם המספר האחרון בסדרה היא מספר משוכלל: 127*64=8128. בניסוח כללי: כאשר 1-k2, הוא מספר ראשוני, אזי הביטוי (1-k2)k-12 הוא מספר משוכלל (כפי שהראינו בסעיף "מספרי מרסן", לביטוי2k- 1  קוראים מספר מרסן). אאוקלידס היה מודע לכך שכל המספרים המשוכללים העונים לנוסחה זו הם מספרים זוגיים. כאלפיים שנה לאחר מכן הוכיח אוילר, בעבודה שנתגלתה בשנת 1849, אחרי מותו, שכל מספר משוכלל זוגי הוא בהכרח בעל צורה זו.

המחקר הרציני הבא על מספרים משוכללים נעשה על-ידי המתמטיקאי ניקומכוס מגֶרֶש (היום בעבר הירדן – אז בתחום האימפריה הרומית), שחי בשנת 100 בקירוב. ניקומכוס כתב את הספר הקדמה לאריתמטיקה, שדן בתורת המספרים הפיתגורית. בין השאר, הוא מיין את המספרים לשלוש קטגוריות בהתייחסותם למחלקים שלהם: המספרים היתרים abundant, שהם המספרים שסכום המחלקים שלהם (חוץ מהמספר עצמו) גדול מהמספר עצמו, למשל המספר 12, שסכום מחלקיו הוא: 1+2+3+4+6=16. הקטגוריה הבאה היא המספרים החסרים deficient, שסכום מחלקיהם קטן מהמספר עצמו, למשל המספר 15 שסכום מחלקיו הוא 9=1+3+5, והקטגוריה השלישית היא המספרים המשוכללים perfect, שכאמור, סכום מחלקיהם שווה למספר עצמו. ניקומכוס כותב בספרו: "כשם שהיפים והמשובחים הם נדירים בעולם ונער יספרם, כן הרעים והמכוערים מצויים [ביקום] בשפע. כך המספרים העודפים והחסרים הם רבים מאוד ואין בהם סדר. גם גילוים לא סדיר. לעומתם המספרים המשוכללים (אולי במקרה זה ראוי לתרגם: המספרים המושלמים!) – קל לספור אותם ויש בקיומם סדר."

ניקומכוס ממשיך וקובע כמה קביעות לגבי המספרים המשוכללים מבלי שניסה להוכיחן:

1.      המספר המשוכלל ה-n יש לו n ספרות.

2.      כל המספרים המשוכללים הם מספרים זוגיים.

3.      כל המספרים המשוכללים מסתיימים בספרות 6 ו-8 לסירוגין.

4.      כפי שקבע אאוקלידס, כל המספרים המשוכללים הם בעלי צורה    (1-k2)k-12 כאשר 1-k2 הוא מספר ראשוני (1k>).

5.      ישנם אינסוף מספרים משוכללים.

עוד נראה איך עמדו קביעות אלה במבחן הזמן כאשר נדון בממצאי המחקר שאחרי תקופתו של ניקומכוס, אבל כבר בשלב זה נוכל לומר שקביעות 1 ו-3 הן לא נכונות בעוד ששאר הקביעות הן בגדר שאלות פתוחות.

לגבי הקביעה מס' 4, האלגוריתם שהוא מציע למציאת מספרים משוכללים תואם בדיוק את תיאורו של אאוקלידס, אבל בניסוח יותר דידקטי. לעומת זה, דומה ששאר הקביעות הושפעו מן העובדה שבזמנו של ניקומכוס היו ידועים אך ורק ארבעה מספרים משוכללים: 6, 28, 496 ו-8128. כשמסיקים מסקנות מוכללות על סמך ארבע דוגמאות, קיימים כל הסיכויים שהמסקנות תהיינה מוטעות, כפי שעוד נראה.

המתמטיקאים הערבים בימי הביניים הסכימו בדרך כלל עם קביעותיהם של אאוקלידס ושל ניקומכוס. אחד מהם פרסם רשימה של עשרה מספרים משוכללים, ששבעת הראשונים שביניהם היו מדויקים ושלושת האחרים לא היו נכונים.

בינתיים התקדמו המתמטיקאים האירופים בצעדי צב, ולכן התקדמותם לא הייתה ניכרת. הם קיבלו את קביעותיו של ניקומכוס כאמת לאמיתה. שום דבר חדש לא הטריד אותם. הם אפילו לא היו מודעים לכתביהם של הערבים בנושא. אחדים קבעו בטעות שהנוסחה (1-k2)k-12 תיתן מספרים משוכללים לכל k אי-זוגי, עד שפרסם בשנת 1536 מתמטיקאי שלא ידוע לנו עליו הרבה את הממצא ש-89*23=2047=‏1 -112 הוא מספר פריק, ובכך לא רק הזים את הטענה ש-k יכול להיות כל מספר אי-זוגי כדי שייתן מספר משוכלל (המספר 2047*1024 אינו מספר משוכלל; [1024=210]), אלא הראה שאפילו אם k הוא מספר ראשוני התוצאה לא חייבת להיות מספר משוכלל. זו הייתה תגלית חשובה כיוון שהמספרים הראשוניים: 2, 3, 5 ו-7, שהוצבו במקום k בנוסחה, נתנו את ארבעת המספרים המשוכללים הראשונים, ו-11 הוא המספר הראשוני הראשון שאינו נותן את התוצאה המקווה. אותו מתמטיקאי גילה את המספר המשוכלל החמישי כאשר הציב 13 במקום k.
הוא הראה ש- 33550336=(1‏-213)212 הוא מספר משוכלל מאחר ש-8191
= 1‏-213 הוא מספר ראשוני. תגלית זו ערערה את הקביעה הראשונה של ניקומכוס, כיוון שהמספר המשוכלל החמישי מכיל שמונה ספרות ולא חמש. לעומת זה דומה שקביעתו השלישית קיבלה חיזוק.

כפי שקורה הרבה עם תגליות שלא התפרסמו או שנעלמו מעיני המדענים בני הזמן, אחד המתמטיקאים גילה בשנת 1555 (תוך כדי הערות על ספרו המתורגם של אאוקלידס) את המספר המשוכלל השישי, אבל עובדה זו נתגלתה רק בשנת 1977, ולכן ניתן הקרדיט לכך למתמטיקאי האיטלקי פייטרו קַטַלְדי. קטלדי פרסם בשנת 1603 את הגורמים הראשוניים של כל המספרים עד 800, וכן פרסם רשימה של כל המספרים הראשוניים עד 750 (יש 132). הוא השתמש ברשימה זו כדי להראות שהמספר 131071=1‏-217 הוא מספר ראשוני, ולכן אין לו מחלקים. מכאן קל היה לגלות את המספר המשוכלל השישי לפי הנוסחה של אאוקלידס: 8,589,869,056=(1‏-217)216. תגלית זו סותרת את הקביעה השלישית של ניקומכוס שהמספרים המשוכללים מסתיימים בספרות 6 ו-8 לסירוגין, שהרי המספר המשוכלל החמישי וגם השישי – שניהם מסתיימים בספרה 6. מסתבר שהקביעה תהיה נכונה אם נשמיט מתוכה את המילה "לסירוגין". במשך הזמן התברר שהופעתן של הספרות 6 ו-8 היא בסדר הבא לגבי כמה מהמספרים המשוכללים הראשונים: 6, 8, 6, 8, 6, 6, 8, 8, 6, 6, 8, 8, 6, 8, 8.... למעשה כל המספרים המשוכללים מסתיימים בספרות 6 או 28, כאשר לפניהן מופיע מספר אי-זוגי.

אותו קטלדי ניצל את רשימתו כדי לגלות שגם המספר 524287=1-‏219 הוא מספר ראשוני ועל כן המספר: 137,438,691,328=(1‏-219)218 הוא המספר המשוכלל השביעי.

הקורא שם לב בוודאי שתולדות המספרים המשוכללים, שנפרשו לפניו עד כה, רצופות הנחות מוטעות שנעשו על-ידי מתמטיקאים שונים, וקטלדי לא היה החריג שבהם מבחינה זו. הוא ציין באחד ממכתביו שאם נציב במקום k את המספרים: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ו-37 נקבל מספרים ראשוניים. הוא כמובן צדק לגבי שבעת המספרים הראשונים ברשימה, אבל הוא טעה לגבי שלושה מתוך ארבעת המספרים האחרונים. פרמה הוכיח במכתב שכתב בשנת 1640 למרסן שקטלדי טעה לגבי שניים מתוך הארבעה. הוא הוכיח ש- 1‏-223=178481*47 הוא מספר פריק, וכן       1‏-237=616318177*223. בשנת 1732, כתשעים שנה אחרי מכתבו של פרמה, הוכיח אוילר שהמספר המשוכלל השמיני הוא 2,305,843,008,139,952,128=(1‏-231)230. מכאן יוצא שעברו כ-130 שנה בין הגילוי של המספר השביעי לשמיני! כמה שנים לאחר מכן, בשנת 1738, הוכיח אוילר את מה שנשאר עוד להוכיח מטענותיו של קטלדי, דהיינו ש-    1‏-229 אינו מספר ראשוני.

 

כל מספר משוכלל הוא מספר רב-משוכלל מסדר 2.

כאמור, אוילר הוכיח כי כל המספרים המשוכללים הם מהצורה
 2n-1(2n-1) כאשר (2n-1) מספר ראשוני. דוגמאות:
6=21-1(22-1)
28=23-1(23-1)
496=25-1(25-1)
8128=27-1(27-1)
מסקנה: מספר מהצורה  2n-1(2n-1) הוא מספר משוכלל אם n וגם 2n-1 הם מספרים ראשוניים, ולמעשה
מספיק לדרוש שרק
2n-1 יהיה ראשוני ומובטח לנו ע"י הכפלה בגורם 2n-1 שנקבל מספר משוכלל.
מחלקיו של המספר 28 לא כולל עצמו הם: 1,2,4,7,14. סכום המחלקים הוא 28.
סכום המספרים ההפכיים של מחלקי המספרים המשוכללים, כולל המספר עצמו וללא 1, שווה ל-1.
דוגמה לקביעה זו עבור המספר המשוכלל 496:
1=1/496+1/248+1/124+1/62+1/31+1/16+1/8+1/4+1/2

אם מחברים את ספרותיו של מספר משוכלל בתהליך חוזר עד לקבלת מספר חד-ספרתי, התוצאה
הסופית תהיה תמיד 1. לדוגמה: סכום ספרותיו של המספר המשוכלל  496
הוא 19, סכום ספרותיו של 19 הוא 10 וסכום ספרותיו של 10 הוא 1.
מספר דמוי משוכלל השווה לסכום של כל מחלקיו נקרא מספר משוכלל. הוא למעשה מספר דמוי-משוכלל השווה אך ורק לסכום של כל מחלקיו (ולא חלקם). לפיכך  קבוצת המספרים המשוכללים הם תת-קבוצה של המספרים הדמוי-משוכללים.

 

 

מספרים דמוי-משוכללים
Semiperfect / Pseudoperfect Numbers

נקראים גם מספרים משוכללים למחצה.
מספר דמוי-משוכלל הוא מספר השווה לסכום של חלק ממחלקיו
או לסכום של כל מחלקיו,
לא כולל המספר עצמו. מעצם הגדרתו, כל כפולה במספר טבעי של מספר דמוי-משוכלל היא מספר דמוי-משוכלל.
מהגדרה זו נקבל שמספרים אלו הם או מספרים יתרים או מספרים משוכללים. יש המתנגדים להגדרה זו ולא כוללים את המספרים המשוכללים בתוכם.  מספר דמוי משוכלל השווה לסכום של כל מחלקיו נקרא מספר משוכלל. לפיכך קבוצת המספרים המשוכללים הם תת-קבוצה של קבוצת המספרים הדמוי-משוכללים.
חמשת המספרים המשוכללים-למחצה הראשונים הם:
6, 12, 18, 20, 24


 סכום מחלקיו של המספר 6=1+2+3 (מספר משוכלל).
 סכום מחלקיו של המספר 12 הוא: 1+2+3+4+6=16 (מספר יתר), אבל סכום חלק ממחלקיו הוא 12  
 (1+2+3+6). כן הדבר לגבי המספר 18 שמחלקיו מסתכמים ב-21=1+2+3+6+9, אבל סכום חלק
 ממחלקיו הוא 18 (1+2+6+9).
 המספר הדמוי משוכלל הקטן ביותר הוא המספר 945, שהזכרנו בסעיף של "מספרים יתרים".

 
אחריו בא המספר 1575. גם כפולותיהם של מספרים אלה הן משוכללים-למחצה.
 מספרים יתרים שאינם מספרים דמוי משוכללים נקראים בשם "המוזר" מספרים מוזרים
.  

 

מספרים דמוי-משוכללים פרימיטיביים
Primitive Semiperfect / Pseudoperfect Numbers

מספרים מסוג זה הם מספרים דמוי-משוכללים שאין להם מחלק דמוי-משוכלל.
סדרת המספרים:
6, 20, 28, 88, 104, 272...
דוגמה:
המספר 20 הוא דמוי-משוכלל מכיוון שהוא שווה לסכום חלק ממחלקיו:
1+4+5+10=20.
עם זאת, אף אחד ממחלקיו אינו מספר דמוי-משוכלל, ולכן 20 הוא מספר דמוי-משוכלל פרימיטיבי.

המספר 12 הוא מספר דמוי-משוכלל משום ש:
1+2+3+6=12.
עם זאת, המחלק שלו, 6, הוא מספר דמוי-משוכלל בעצמו, ולכן 12 אינו מספר דמוי-משוכלל פרימיבטיבי.

 

 

מספרים היפר משוכללים מסדר k
K-Hyperperfect Numbers

מספר מסוג זה הוא מספר טבעי  n המקיים את הנוסחה n=1+k(σ(n)-n-1)
כאשר (σ(n מייצג את סכום המחלקים של n.

מספר משוכלל הוא למעשה מספר היפר-משוכלל מסדר 1.

המספר 21 הוא מספר היפר משוכלל מסדר 2 כי
21=1+2(1+3+7+21-21-1)

המספר 325 הוא מספר היפר משוכלל מסדר 3 כי 325=1+3(1+5+13+25+65+325-325-1)

המספר 301 הוא מספר היפר משוכלל מסדר 6 כי 301=1+6(1+7+43+301-301-1)


 

מספרים כמעט משוכללים
Almost Perfect Numbers

מספר כמעט-משוכלל הוא מספר טבעי שסכום מחלקיו, לא כולל עצמו אבל כולל 1,
קטן ממנו ב-1.
ניסוח שקול: מספר כמעט-משוכלל הוא מספר שגדול ב-1 מסכום מחלקיו, לא כולל עצמו.
ניסוח נוסף: מספר כמעט משוכלל הוא מספר שסכום כל מחלקיו שווה ל:
2n-1.
מספר כמעט משוכלל הוא מספר חסר.
כל המספרים שהם חזקותיו של 2 (בעלי הצורה
n2) הם מספרים כמעט משוכללים.
לא ידוע על מספרים כאלה שיש להם צורות אחרות. בייחוד לא ידוע אם יש מספרים אי-זוגיים כאלה.  
קיימים אינסוף מספרים כמעט משוכללים.
מספר כמעט-משוכלל לדוגמה: 16. מחלקיו לא כולל עצמו הם: 1,2,4,8 וסכום מחלקיו הוא 15.
שאלות פתוחות: האם כל מספר כמעט משוכלל הוא מהצורה
2m  כאשר m מספר טבעי.
                      האם קיים מספר אי-זוגי שהוא מספר כמעט משוכלל?
                      האם קיימים מספרים קוואזי-משוכללים (סכום מחלקיהם דווקא גדול ב-1 מהמספר המקורי)?

 

מספרים מכפלתיים משוכללים
Product-Perfect Numbers

נקראים גם מספרים משוכללים כפלית
מספר מכפלתי משוכלל
n הוא מספר אשר מכפלת כל מחלקיו שווה ל-n2.
ניסוח שקול: מספר מכפלתי משוכלל שווה למכפלת מחלקיו, לא כולל עצמו.
מספר מכפלתי משוכלל הוא למעשה מספר ראשוני למחצה, ומכאן נובע כי כל מספר שהוא מכפלה
של שני מספרים ראשוניים שונים הוא מספר מכפלתי משוכלל, ובנוסף:
כל מספר שהוא חזקה שלישית של מספר ראשוני הוא מספר מכפלתי משוכלל.
כל מספר מכפלתי משוכלל הוא מספר ראשוני למחצה בעל 4 מחלקים שונים (כולל 1 והמספר עצמו).
מספר מכפלתי משוכלל לדוגמה: 33. מחלקיו הם: 1,3,11,33 ומכפלתם היא 1089, קרי 332.

 

מספרים משוכללים יחידתיים
Unitary Perfect Numbers
ראשיח, נגדיר את המונח מחלק יחידתי Unitary Divisor.
המספר הטבעי
d הוא מחלק יחידתי של המספר הטבעי  n, אם ל-d ול-n/d אין מחלקים משותפים.
במילים אחרות, המספר הטבעי
d הוא מחלק יחידתי של המספר הטבעי  n, אם GCD(d, n/d)=1 (ר' GCD)
מספר משוכלל יחידתי שווה למכפלת כל המחלקים היחידתיים שלו (מלבד עצמו).

דוגמא עבור המספר 90:
מחלקיו (הרגילים) של 90 הם:
2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45.
מחלקיו היחידתיים של 90 הם:
2, 5, 9 משום שאין להם מחלקים משותפים עם 45, 18, 10 בהתאמה.
מה שהופך את 90 למספר משוכלל יחידתי היא העובדה שמכפלת מחלקיו היחידתיים שווה למספר עצמו:
2*5*9=90.
גם 6 ו-60 הם מספרים משוכללים יחידתיים.

 

מספרים משוכללים מסדר (m,k)
Perfecr Numbers  - (m,k)
 
מספר משוכלל מסדר (m,k) הוא מספר טבעי n שהאיטרציה על סכום מחלקיו היא כפולה של המספר עצמו.
הפרמטר
m מייצג את מספר האיטרציות, והפרמטר k מייצג את המספר הטבעי הכופל.  σm(n)=kn .
נדגים:
המספר המשוכלל הקטן ביותר, 6, הוא למעשה מספר משוכלל מסדר
(1,2), משום שסכום מחלקיו
הוא 12, ומתקיים
12=2*6.

המספר הסופר-משוכלל 16  הוא מספר משוכלל מסדר
(2,2), משום שסכום-סכום מחלקיו הוא 32. כלומר,
סכום מחלקיו של 16 הוא 31, וסכום מחלקיו של 31 הוא 32. ואכן,
32=2*16.

המספר 21 הוא מספר משוכלל מסדר
(2,3), משום שסכום-סכום מחלקיו הוא 63, ואכן 63=3*21.

המספר 42 הוא מספר משוכלל מסדר
(2,6), משום שסכום-סכום מחלקיו הוא 252, ואכן 252=6*42.

המספר 14 הוא מספר משוכלל מסדר (3,12), משום שסכום-סכום-סכום מחלקיו הוא 168. כלומר,
סכום מחלקיו של
14 הוא 24, סכום מחלקיו של 24 הוא 60, וסכום מחלקיו של 60 הוא 168, ואכן:
168=12*14.

 

מספרים סופר-משוכללים
Superperfect Numbers

מספר סופר-משוכלל הוא מספר העונה לתנאי הבא

במילים פשוטות ובשפה לא פורמלית נגדיר בתור
m את סכום מחלקיו של מספר טבעי n, וכעת נחשב את סכום מחלקיו של המספר m. אם סכום מחלקיו של המספר m גדול פי 2 מהמספר n, אז n הוא מספר סופר משוכלל.
דוגמה:
סכום מחלקיו של המספר 16 כולל עצמו וכלל 1 הוא
1+2+4+8+16=31.
סכום מחלקיו של המספר
31 כולל עצמו וכלל  1 הוא 1+31=32.

מאחר ש-32 גדול פי 2 מהמספר הטבעי 
n איתו התחלנו, הרי ש-16 הוא מספר סופר-משוכלל.
המספרים הסופר-משוכללים הראשונים בסדרה הם:
2, 4, 16, 64, 4096,...
לא ידוע אם קיימים מספרים אי-זוגיים מסוג זה.

 

 

מספרים קוואזי-משוכללים
Quasiperfect Numbers

מספר קוואזי-משוכלל הוא מספר טבעי n שסכום כל מחלקיו שווה ל-2n+1. 
כל מספר קוואזי-משוכלל הוא מספר יתר. לא ידוע על קיומו של מספר כזה

 

מספרים רב-משוכללים
Multiperfect/Pluperfect Numbers

נקראים גם מספרים מולטי-משוכללים או מספרים k-משוכללים.
מספר רב-משוכלל הוא מספר אשר סכום מחלקיו, לא כולל עצמו אבל כולל 1, הוא כפולה של המספר עצמו
במספר טבעי.
ניסוח שקול: מספר רב משוכלל הוא מספר טבעי
n שסכום כל מחלקיו שווה ל-kn (k מספר טבעי),
                  כלומר, סכום מחלקיו הוא כפולה שלמה של המספר עצמו, ולפיכך קבוצת המספרים המשוכללים
                  (מקרה פרטי עבור
K=2) היא תת-קבוצה של קבוצת המספרים הרב-משוכללים.
נאמר שמספר רב משוכלל הוא מסדר
n, כך ש-n הוא מספר שלם.
כל מספר משוכלל הוא מספר רב-משוכלל מסדר 2.

למשל, סכום המחלקים של המספר 120 הוא 240, ואכן: 1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60=240=120*2.
זו הייתה תגליתו של המתמטיקאי הצרפתי מרן מרסן – עליו נתוודע בפרק על "מספרי מרסן".
במכתב שכתב מרסן לדקרט בשנת 1631, הוא שאל אותו אם יוכל למצוא מספרים נוספים כאלה. שאלה זו העסיקה רבות את דקרט, ורק כעבור שבע שנים הוא סיפק בסדרה של מכתבים למרסן רשימה של מספרים כאלה. בינתיים גם פרמה עסק בסוגייה, והוא גילה בשנת 1637 את המספר 672, שמספר מחלקיו הוא 1344=672*2. בין רשימת המספרים שסיפק דקרט היה המספר 30240 שסכום מחלקיו גדול פי 3 מהמספר עצמו ועוד מספר עצום בגודלו שסכום מחלקיו גדול פי 4 מהמספר.
כל המספרים האלה הם מספרים זוגיים, כשם שכל המספרים המשוכללים הם מספרים זוגיים. נכון לשנת 2004 ידועים אלפים אחדים של מספרים כאלה שסכום מחלקיהם כפול פי 2 עד פי 11 מהמספר עצמו.

מספר רב-משוכלל מסדר 3 לדוגמה:  672.
סכום מחלקיו הוא 2016, ומכיוון ש-2016=672*3, הרי ש-672 הוא מספר רב-משוכלל מסדר 3.

מספרים נגדיים
Opposite Numbers

מספרים נגדיים הם זוג מספרים שסכומם שווה לאפס. למשל: (5,-5)
בדומה למספרים הפכיים, המספר הנגדי למספר הנגדי של מספר נתון, הוא המספר הנתון עצמו

אך בשונה מהם, למספר אפס יש מספר נגדי והוא אפס.

מספרים נגיעים
Touchable Numbers

מספר נגיע הוא סכום המחלקים של מספר טבעי אחר, לא כולל המספר האחר עצמו.
למשל, סכום המחלקים של 15 הוא
1+3+5=9 ולכן 9 הוא מספר נגיע.
מעצם ההגדרה, כל זוג מספרים ידידים מורכב משני מספרים נגיעים. למשל, הזוג (220,284).
כל מספר אי-זוגי, מלבד המספר 5, הוא מספר נגיע.
ישנם אינסוף מספרים נגיעים.

מספרים נדירים
Rare Numbers

מספר נדיר הוא מספר שאם מחברים אליו או מחסירים ממנו את אותו מספר בהיפוך ספרות, מקבלים
בשני המקרים מספרים ריבועיים (מספרים שיש להם שורש שלם). משערים כי לא קיימים מספרים
נדירים ראשוניים.
מספרים נדירים לדוגמה: 65, 281089082.
הסכום של 65 ו-56 הוא 121 ולו יש שורש שלם 11.
ההפרש של 65 ו-56 הוא 9 ולו יש שורש שלם 3.
דוגמה נוספת:
621770+077126=8362,   621770-077126=7382.
המספר 242 הוא מספר נדיר פאלינדרומי.                

מספרים נרקיסיסטיים
Narcissistic Numbers
Perfecr Digital Invariants Numbers

מספר נרקיסיסטי הוא מספר המתקבל באמצעות מניפולציות על ספרותיו.
דוגמאות:      
2427=21+42+23+74.  3435=33+44+33+55.
דוגמא נוספת ללא חזקות: 36=3!*6.
המספר 153 גם הוא מספר נרקיסיסטי שכן 
153 = 13+53+33 . בפרט, זהו מספר ארמסטרונג.

מספרי סטירלינג
Stirling Numbers


מספרי סטירלינג מסוג ראשון
Stirling Numbers Of The First Kind

מספרי סטירלינג מסוג ראשון מייצגים את מספר החלוקות של קבוצה בת n איברים ל-k
תמורות ציקליות זרות.

הדגמה של משמעות התמורה הציקלית. נניח שנתונה קבוצה בת 4 איברים: 
{a,b,c,d}  אזי
תמורה ציקלית אחת היא
{(a),(b,c,d)} ותמורה זו שקולה לתמורה   {(a),(c,d,b)}
משום שהמחרוזת 
bcd היא תמורה ציקלית של המחרוזת cdb:

bcdbcdbcdbcd.
מסיבה זאת, התמורה הציקלית הנדונה
{(a),(b,c,d)} אינה שקולה לתמורה   {(a),(b,d,c)}

הדגמת מספרי סטירלינג מסוג ראשון - נניח שנתונה קבוצה בת 4 איברים:  {a,b,c,d}  אזי
מספר האפשרויות לחלק קבוצה בת 4 איברים לשתי תמורות ציקליות זרות הוא 11 על פי הפירוט הבא:

S(4,2)={(a,b),(c,d)}, {(a,c),(b,d)}, {(a,d),(b,c)}, {(a),(b,c,d)}, {(a),(c,b,d)}, {(b),(a,c,d)}, {(b),(a,d,c)},
             {(c),(a,b,d)}, {(c),(a,d,b)}, {(d),(a,b,c)}, {(d),(a,c,b)}

זהויות עבור מספרי סטירלינג מסוג ראשון ומספרי סטירלינג מסוג שני: 

S(n,0)=0
S(0,k)=0
S(0,0)=1
S(n,n)=1
S(n,k)=0, k<=n


 

מספרי סטירלינג מסוג שני
Stirling Numbers Of The Second Kind

מספרי סטירלינג מסוג שני מייצגים את מספר החלוקות של קבוצה בת
n איברים ל-k
תתי קבוצות לא ריקות (אין חשיבות לסדר האיברים בכל תת קבוצה).

ניסוח שקול: מספר סטירלינג מסוג שני מייצג את מספר האפשרויות לפזר
 k כדורים שונים לתוך
n תאים זהים, כך שבכל תא ישנו לפחות כדור אחד (אין חשיבות לסדר הכדורים בתוך התא).

קיים קשר הדוק בין מספרי סטירלינג מסוג שני לבין מספרי בל, אשר סוכמים את מספרי סטירלינג.


הדגמת מספרי סטירלינג מסוג שני - נניח שנתונה קבוצה בת 4 איברים:  {a,b,c,d}  אזי

מספר האפשרויות לחלק קבוצה בת 4 איברים לתת-קבוצה אחת לא ריקה הוא 1:

S(4,1)={{a,b,c,d}}

מספר האפשרויות לחלק קבוצה בת 4 איברים לשתי תתי-קבוצות לא ריקות הוא 7:

S(4,2)={{{a},{b,c,d}},{{b},{a,c,d}},{{c},{a,b,d}},{{d},{a,b,c}},{{a,b},{c,d}},{{a,c},{b,d}},{{a,d},{b,c}}}

מספר האפשרויות לחלק קבוצה בת 4 איברים לשתי תתי-קבוצות לא ריקות הוא 6:

S(4,3)={{{a},{b},{c,d}},{{a},{c},{b,d}},{{a},{d},{b,c}},{{b},{c},{a,d}},{{b},{d},{a,c}},{{c},{d},{a,b}}}

מספר האפשרויות לחלק קבוצה בת 4 איברים לארבע תתי-קבוצות לא ריקות הוא 1:

S(4,4)={{a},{b},{c},{d}}}

בדומה להגדרה הרקורסיבית של מקדמים בינומיים, ניתן להגדיר רקורסיבית גם את מספרי סטירלינג מסוג שני:

S(n,k) = S)n-1,k-1) + k*S(n-1,k)


זהויות עבור מספרי סטירלינג מסוג ראשון ומספרי סטירלינג מסוג שני: 

S(n,0)=0
S(0,k)=0
S(0,0)=1
S(n,n)=1
S(n,k)=0, k<=n


 

מספרי סמית'
Smith Numbers

מספר סמית' הוא מספר פריק שסכום ספרותיו שווה לסכום הספרות של גורמיו הראשוניים
לא כולל 1 ולא כולל עצמו.
מספר סמית' לדוגמה: 85. סכום ספרותיו הוא 13 וסכום ספרותיו של האחרון הוא 4. .
גורמיו הראשוניים של 85 הם 5 ו-17. סכום הספרות של גורמיו הראשוניים הוא:
5+1+7=13 וסכום ספרותיו של 13 הוא 4, כדרוש.
סדרת מספרי סמית':
4,22,27,58,85,94,121,166…
לא קיימת נוסחה המנפקת את כל מספרי סמית'.

מספרי סמית' מסדר k
K- Smith Numbers

מספר סמית' מסדר
k הוא מספר סמית' שסכום גורמיו הראשוניים גדול פי k מסכום הספרות של המספר. למשל,
32   הוא מספר סמית' מסדר 2. סכום ספרותיו 5 וסכום הגורמים הראשוניים שלו הוא
2+2+2+2+2=10.
700 הוא מספר סמית' מסדר 3. סכום ספרותיו 7 וסכום הגורמים הראשוניים שלו הוא
2+2+5+5+7=21.

מספרי סמית' חצי-ראשוניים
Semiprime Smith Numbers

מספר סמית' חצי ראשוני הוא מספר סמית' שהינו גם מכפלה של שני מספרים ראשוניים (שווים או שונים).
סדרת מספרי סמית' חצי-ראשוניים:
4,22,58,85,94,…
מספר סמית' חצי ראשוני לדוגמה: 22.   סכום ספרותיו הוא 4. גורמיו הראשוניים הם 2 ו-11
וסכומם 13. סכום הספרות של 13 הוא 4, כדרוש ולכן זהו מספר סמית'.
בנוסף, 2*11=22 ולכן זהו מספר סמית' חצי-ראשוני.

**קיימים סוגים רבים נוספים של מספרי סמית'. חלקם מוצג ברשימה הבאה:

מספרי סמית' פלינדרומיים
ההסבר בדומה לסעיף הקודם של מספרי סמית' בתוספת תכונת הפלינדרומיות.
סדרת מספרי סמית' פלינדרומיים:
4,22,121,202,454,535,…

מספר סמית' פלינדרומי לדוגמה: 454, 7227.

מספרי סמית' אחים הם מספרי סמית' עוקבים.
למשל: 728 ו-729.

מספרי סמית' הפיכים הם עדיין מספרי סמית' גם כשקוראים אותם מימין לשמאל: 319
ß913.
לפיכך כל מספר סמית' פלינדרומי הוא מספר סמית' הפיך.

מספר סמית חסר לדוגמה: 22. סכום מחלקיו הוא 14, ואכן
14<22.
מספר סמית יתר לדוגמה: 378. סכום מחלקיו הוא
441, ואכן 441>378.

מספרי ערפד
Vampire Numbers

מספר ערפד הוא מספר בעל מספר זוגי של ספרות אשר מייצג כפולה של שני מספרים (ניבי ערפד)
המורכבים מהספרות שלו עצמו, לאו דווקא בסדר המקורי שלהן.

מספר ערפד לדוגמה: 125460=204*615.
מספרי ערפד הם תת-קבוצה של מספרי פרידמן.

 

מספרי ערפד ראשוניים
Prime Vampire Numbers


מספר ערפד ראשוני הוא מספר ערפד בעל שני ניבים ראשוניים.
מספר ערפד ראשוני לדוגמה:
124483=261*443 . 261 ו-443 הם מספרים ראשוניים.

מספרים פאלינדרומיים
Palindromic Numbers

מספר פאלינדרומי הוא מספר שסדר ספרותיו כאשר קוראים אותן משמאל לימין זהה
לסדר של הספרות של אותו מספר הנקראות מימין לשמאל.
דוגמאות: 131, 1221, 574475, 3333.

מספרים ראשוניים פאלינדרומיים:
אלו המספרים הגדולים ביותר המכילים 1 עד 11 ספרות:
7, 11, 929, 98689, 9989899, 999727999, 99999199999

נשים לב כי אין מספר מסוג זה בעל 4, 6, 8 או 10 ספרות.

מספרים פאן-דיגיטליים
Pandigital Numbers

מספר פאן-דיגיטלי הוא מספר שבו מופיעות כל הספרות מ-0 עד 9 בדיוק פעם אחת. לדוגמה: 2596083417.
מספר כמעט פאן-דיגיטלי הוא מספר שבו מופיעות כל הספרות מ-1 עד 9 בדיוק פעם אחת. לדוגמה: 259683417.
מספרים מסוג אלו יכולים להיות מוגדרים בכל בסיס. למשל, מספר פאן-דיגיטלי בבסיס 4 הוא 3201.

 

מספרי פיבונאצ'י
Fibonacci Numbers

מספרי פיבונאצ'י הם המספרים המרכיבים את סדרת פיבונאצ'י: ,...1,1,2,3,5,8,13,21,34,56
הסדרה הרקורסיבית הנ"ל מוגדרת ע"י כלל  הנסיגה: 
Fn=Fn-1+Fn-2 בהינתן: F1=1,F2=1
האומר כי  כל איבר החל מהאיבר השלישי הוא סכום שני האיברים הקודמים לו.

הסדרה מוכרת לציבור הרחב בשל ההמחשה הקלאסית לבעיית ההתרבות של זוגות הארנבים, כמו גם
יישומיה בטבע ובאמנות.
מספרי הסדרה מהווים פתרון לבעיות שונות כגון: כמה אפשרויות יש לאדם לעלות
n מדרגות,
כאשר בכל שלב הוא יכול לעלות מדרגה אחת או שתיים, אבל לא יותר?
אפשרות 1: בשלב הראשון הוא יכול לעלות מדרגה אחת ועוד אחת ועוד אחת (ביחד 3).
אפשרות 2: בשלב הראשון הוא יכול לעלות מדרגה אחת ולאחר מכן שתי מדרגות (ביחד 3).
אפשרות 3: בשלב הראשון הוא יכול שתי מדרגות ולאחר מכן עוד מדרגה אחת (ביחד 3).

תכונות בולטות של מספרי סדרת פיבונאצ'י:
GCD(Fn, Fn+1)=1 – משמע, שני מספרי פיבונאצ'י עוקבים הם מספרים זרים.
היחס בין שני איברים עוקבים בסדרת פיבונאצ'י שואף ליחס הזהב.


המחלק המשותף המקסימלי של שני מספרי פיבונאצ'י הוא גם מספר פיבונאצ'י:
GCD(Fn, Fm)=Fk

סכום הריבועים של
n מספרי פיבונאצ'י הראשונים שווה למכפלת איבר פיבונאצ'י Fn באיבר העוקב לו:
F12+ F22+ F32+...+F (n-1)2+Fn2 =  Fn*F(n+1)

לפי הצגת זקנדורף, כל מספר טבעי ניתן לייצוג כסכום של שני מספרי פיבונאצ'י שונים.
נוסחת האיבר הכללי של סדרת פיבונאצי' נקראת נוסחת בינה. היא אינה נוסחה רקורסיבית, ומאפשרת
למצוא את איבר פיבונאצ'י הנמצא במקום ה-
n-י.

שאלות פתוחות: האם יש אינסוף מספרי פיבונאצ'י ראשוניים.

ר' מספרי לוקאס.

מספרים פקטוריאליים
Factorial Numbers

נקרא גם מספר פקטוריוני.
מספר פקטוריאלי הוא מספר אשר סכום העצרות של ספרותיו שווה למספר עצמו.
מספרים פקטוריאליים לדוגמה:  1, 2, 145, 40585.
סכום העצרות של המספר 145 הוא :
1!+4!+5!= 145  ולכן 145 מספר פקטוריאלי.

מספרי פרידמן
Friedman Numbers

מספר פרידמן הוא מספר היתן להצגה באמצעות הפעלת ארבע פעולות החשבון היסודיות: חיבור, חיסור, כפל וחזקה
ופעולת ההעלאה בחזקה על כל אחת מספרותיו.
מספרי פרידמן לדוגמה:
153=13+53+33. 25=52.
מספרי ערפד הם תת-קבוצה של מספרי פרידמן.

 

מספרי פרידמן יפים
Nice Friedman Numbers


מספר פרידמן יפה הוא מספר פרידמן  שניתן להציגו ע"י הפעלת פעולות חשבון על ספרותיו כפי שהן מופיעות במקור.
מספר פרידמן יפה לדוגמה:
153=13+53+33.  736=7+36.   25=52 אינו מספר פרידמן יפה, עקב היפוך הספרות.

מספרים פריקים
Composite Numbers

מספר פריק הוא מספר המתחלק ללא שארית ביותר משני מספרים.
קבוצת המספרים הטבעיים מורכבת מקבוצת המספרים הפריקים ומקבוצת המספרים הראשוניים.
כל המספרים הפריקים ניתנים לייצוג כמכפלה של מספרים ראשוניים, ולכל מספר פריק
ישנה הצגה אחת ויחידה באופן זה. למשל: 99=11*3*3
כל מספר טבעי הגדול מ-11 הוא סכום של שני מספרים פריקים.
מספרים פריקים לדוגמה: 20, 99.

 

מספרים פריקים ברמה גבוהה
Highly Composite Numbers


נקראים גם מספרים פריקים במיוחד.
מספר פריק ברמה גבוהה הוא מספר פריק בעל שיא המחלקים לעומת המספרים הטבעיים הקטנים ממנו.
מספר פריק במיוחד לדוגמה: 12. למספר 12 ישנם 6 מחלקים וזהו השיא עד כה, מכיוון שלכל
המספרים הטבעיים הקטנים ממנו ישנם פחות מ-6 מחלקים.
כל המספרים הפריקים ברמה גבוהה הגדולים מ-6 הם מספרים יתרים.
המספר התלת-ספרתי שלו מספר המחלקים הרב ביותר הוא 840, ויש לו 32 מחלקים:
1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,14,15,20,21,24,28,30,35,40,42,56,60,70,84,105,120,140,168,210,280,420,840

למספר 7560 ישנם 64 מחלקים והוא הגדול מסוגו בטווח של 10000 המספרים הטבעיים הראשונים.

סדרת המספרים הפריקים ברמה גבוהה (בסוגריים- מספר המחלקים של המספר):
2(2), 4(3), 6(4), 12(6), 24(8), 36(9), 48(10), 60(12), 120(16), 180(18),...

מספרי פרמה ומספרי פרמה ראשוניים
Fermat Numbers
/ Fermat Primes

מספרי פרמה הם מספרים טבעיים מהצורה Fn=2m+1 כאשר .m=2n.
מספרים אלו יכולים להיות ראשוניים או פריקים.

במכתבים ששלח פרמה לידידו פרניקל, לפסקל ולאחרים הוא העלה את ההשערה שמספרים שצורתם 1‏+
2n הם מספרים ראשוניים. וכעת, כדי שמספר מצורה זו יהיה ראשוני, מעריך החזקה, n,  אינו יכול לכלול גורם שהוא מספר אי-זוגי, כיוון שאם מציבים מספר אי-זוגי הגדול מ-1 במקום n, למשל המספרים: 3, 5, 7, 9, 11 וכו', התוצאה תהיה מספר פריק. אבל מספר שאין לו גורם אי-זוגי כלל חייב להיות מספר שהוא חזקה כלשהי של 2, דהיינו מהצורה  n2. מכאן אנו מגיעים לניסוח חדש של השערת פרמה: מספרים בעלי צורה ‏‏‏1‏+22^n (2 בחזקת 2 בחזקת n) הם מספרים ראשוניים. פרמה הצהיר שאין לו הוכחה מספקת להשערתו.

 

המספרים שאותם גילה פרמה בנוסחתו הם:

3=1 22^0+= F0

5=22^1+1 = F1

17=22^2+1=F2

257=22^3+1=F3

65,537=22^4+1=F4

 

ואכן כל המספרים האלה הם מספרים ראשוניים המכונים המספרים הראשוניים של פרמה (שאר המספרים שעונים על נוסחה זו מכונים בפשטות מספרי פרמה). מעניין שכל אימת שפרמה טען שיש בידו הוכחה למשפט כלשהו, איש לא יכול היה להוכיח את ההפך. במקרה שלנו הוא הצהיר שאין בידו הוכחה מניחה את הדעת לטענתו. כמאה שנים לאחר השערתו, בשנת 1732, בא אוילר והוכיח שמספר פרמה השישי (F5) הוא מספר פריק:       6,700,417*641.=22^5+1=232+1= =4,294,967,297= F5

בדיעבד נראה לנו היום מוזר ולא מוסבר איך מתמטיקאי גאון כמו פרמה, שיכול היה לפרק לגורמיו מספר כמו 100,895,598,169 (898423*112303) במהירות ובקלילות של קוסם השולף שפן מן הכובע, יכול ל"פספס" גורם קטן למדיי, 641, של F5. אוילר לא הגיע למספר הזה בדרך של ניסוי וטעייה, אלא הוא הוכיח לפני כן, שאם מספר פרמה כלשהו הוא פריק, אזי כל גורם ראשוני שלו צריך להיות בעל צורה 1+k n+1‏‏‏2 כאשר k הוא מספר חיובי כלשהו ו-n שייך לסימן Fn. לפי זה למספר פרמה השישי (F5) צריך להיות גורם ראשוני בעל צורה 1+k26 או 1+k64. אם נציב במקום k  את המספרים 1 עד 10 ניווכח שרק אם נציב את המספרים 3, 4, 7, 9 ו-10 נקבל מספרים ראשוניים ואלה הם: 193, 257, 449, 577 ו-641. הוא לא היה זקוק לזמן רב (בסך הכל 5 פעולות חילוק) עד שקבע ש-641 הוא גורם ראשוני של F5. אין לנו עדות שהגורם השני (המספר 6,700,417) עניין אותו כלל. קל ביותר להוכיח שגם הוא מספר ראשוני. ההוכחה סוטה במידת מה ממרכז הדיון שלנו. אנו מביאים אותה כאן רק כדי להראות כיצד תוקפים מתמטיקאים בעיה כזו: אם מספר זה הוא מספר פריק הרי הגורם הראשוני שלו צריך להיות קטן מהשורש הריבועי שלו, שהוא קצת יותר מ-2588, והוא צריך להיות בעל הצורה64k+1 . בתוך מספר זה יש 40 מספרים בעלי צורה זו. 10 כבר בדקנו. מתוך השלושים שנותרו רק 7 מספרים הם ראשוניים, ואלה הם: 641, 769, 1153, 1217, 1409, 1601 ו-2113. בעזרת מחשבון רגיל ניווכח שאלה לא מחלקים את המספר 6,700,417. מכאן שהוא ראשוני. כך רואים שמספר פרמה השישי הוא למעשה מספר ראשוני-למחצה (כלומר הוא מתפרק אך ורק לשני מספרים ראשוניים).


אין אזהרה יותר מוחשית למתמטיקאי החובב שלא לקפוץ למסקנות נמהרות, המסתמכות על דוגמאות מספריות, רבות ככל שיהיו, ולא על הוכחה מתמטית מחמירה, מאשר טעות זו של גאון כפרמה! מה שמחמיר את טעותו היא העובדה שכל מספרי פרמה (4
n> , Fn) הידועים לנו כיום הם מספרים פריקים. עובדה זו מעלה את השאלה שאין לנו עליה תשובה עדיין: האם חמשת המספרים הראשונים של פרמה הם המספרים הראשוניים היחידים הקיימים מבין מספרי פרמה? במילים אחרות האם ייתכן שיימצא מספר פרמה ראשוני כאשר Fn>4? ואם יימצא מספר כזה, האם ייתכן שיש אינסוף מספרים כאלה? מהצד השני, האם קיימים אינסוף מספרי פרמה שהם מספרים פריקים? כיום ידועים מספרי פרמה פריקים מ-F5 עד F32, אבל פירוק שלם לגורמים, כלומר ציון כל הגורמים שמכפלתם יתנו את מספר פרמה, ידוע לנו רק עד F11 – נכון לשנת 2010. מספר הגורמים הראשוניים של כל אחד ממספרי פרמה: F5, F6, F7 ו-F8 הוא שניים, ל-F9 יש שלושה גורמים ראשוניים, ל-F10 יש ארבעה ול-F11 – חמישה. את המספר האחרון הזה הצליחו לפרק לגורמים רק בשנת 1988.

לכל מספר פרמה
Fn  ישנם לפחות n מחלקים ראשוניים שונים זה מזה.
מספר פרמה יכול להיות מספר ראשוני או מספר פסאודו-ראשוני.
מספר פרמה אינו יכול להיות מספר ריבועי או מספר משולש (מלבד המספר 3).
כל מספר פרמה הגדול מ-3 הוא מספר ראשוני אמ"מ הוא ניתן לייצוג כסכום של שני מספרים ריבועיים.

שאלות פתוחות: האם יש אינסוף מספרי פרמה ראשוניים.

מספרים פרקטיים
Practical Number

מספר פרקטי הוא מספר חיובי שכל המספרים הקטנים ממנו ניתנים לייצוג כסכומים של חלק
ממחלקיו או כל מחלקיו של
n.
סדרת המספרים הפרקטיים:
1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18....
דוגמה:
המספר 8 הוא מספר פרקטי משום שכל המספרים מ-1 עד 7 הם סכומים של מחלקיו או חלק ממחלקיו.
המחלקים 1, 2, 4 ניתנים לייצוג ע"י עצמם. יתר המספרים: 3=1+2, 5=1+4, 6=2+4, 7=1+2+4.
כל מספר משוכלל זוגי וכל חזקה שלמה של 2 הם מספרים פרקטיים.

מספרי קטלן
Catalan Numbers

מספר קטלן  הוא מספר טבעי המוגדר ע"י מקדם בינומי,ומיושם בעיקר בפתרון בעיות ספירה קומבינטוריות.
לכל
n>=0 ,   מספר קטלן ה-n-י הוא:    
 או  בייצוג אלגברי שונה:   

בעיה לדוגמה: מהו  מספר הדרכים השונות להפריד בסוגריים
n+1 אותיות?
פתרון: 
Cn. נניח ש-n=2, ולכן מדובר ב-3 אותיות:a,b,c.
מספר קטלן המתאים הוא
C3=2  ואלו שתי האפשרויות:   a(bc), (ab)c                                                  
מספר קטלן המתקבל עבור 
n=5 , למשל, הוא 42.

מספרי קאפרקר
Kaprekar Numbers

מספר קאפרקר הוא מספר טבעי אשר חיבור קבוצות ספרות של ריבועו שווה למספר עצמו.
מספר קאפרקר לדוגמה:
9801=98+1+90=992.

 

מספרים קונגרואנטיים
Congruent  Numbers

מספר קונגרואנטי הוא מספר טבעי המייצג שטח של משולש ישר-זווית אשר אוכי צלעותיו הם

מספרים רציונליים (ובפרט שלמים). מכל שלשה פיתגורית אפשר ליצור מספר קונגרואנטי.
המספר הוא מחצית מכפלת הניצבים (ערכי
x ו –y במכפלת פיתגורס).
דוגמה: עבור השלשה הפיתגורית
5, 12, 13, המספר 30 הוא מספר קונגרואנטי מאחר שהוא מהווה את
שטחו של המשולש ישר-הזווית שצלעותיו הן
5, 12, 13.

מספרי קרמייקל
Carmichael Numbers


נקראים גם מספרים פסאודו-ראשוניים מוחלטים או מספרים ראשוניים של פרמה
(
or Fermat Pseudoprime Absolute Pseudoprime)

***מומלץ לקרוא את הערך מספרים פסאודו-ראשוניים כמבוא לפני המשך הקריאה של ערך זה.

מספר קרמייקל הוא מספר אי-זוגי פריק שעמיד בפני מבחן פרמה לכל בסיס
a (הזר ל-p).
במילים אחרות, הוא שייך לקבוצת מספרים העוברים את מבחן הראשוניות של פרמה,
למרות שהם מספרים פריקים, ובכך הם 'מכשילים' את המשפט_הקטן_של_פרמה ומונעים ממנו
להיות מבחן ראשוני תקף.

למשל, המספר הפריק 561 הוא מספר קרמיי'קל מפני שהוא מחלק  את
a561-2   לכל בסיס  a,
בתנאי ש-561 ו-
a הם מספרים זרים (כל המספרים הראשוניים זרים זה לזה).
לעומת זאת, המספר הפריק 341 אינו מספר קרמייקל. אמנם הוא מחלק את
2341-2  ,
אבל עבור בסיס 11, אינו מחלק את
11341-11 . לפיכך 341 נקרא מספר פסאודו-ראשוני.
יוצא מכך כי מספרי קרמייקל הם תת-קבוצה של המספרים הפסאודו-ראשוניים.

מבחן פרמה נכון תמיד עבור מספרים ראשוניים, אבל הוא לפעמים נכון גם עבור מספרים פריקים.
משמע, כל מספר שאינו מחלק את
2p-2  אינו ראשוני, אבל אם הוא כן מחלק את 2p-2,

הוא יכול להיות פריק או ראשוני.
מסקנה: באמצעות המשפט הקטן של פרמה ניתן לבדוק אם מספר הוא בהכרח פריק,
אבל לא נוכל באמצעותו להגיע לוודאות מוחלטת בבואנו לקבוע אם מספר הוא ראשוני.

מבוא והדגמה מספרית:
המשפט הקטן של פרמה הוא הכללה של ההשערה הסינית (אשר דנּו בה בערך מספרים פסאודו-ראשוניים):

p מספר ראשוני אם ורק אם הוא מחלק את 2p-2.

נפצל את משפט אמ"מ לשתי טענות:
טענה א -  אם
p מספר ראשוני, אז p מחלק את 2p-2.  טענה זו שקולה לוגית לטענה הבאה:
               אם
p אינו מחלק את 2p-2, אז p אינו מספר ראשוני.

טענה ב -  אם
p מחלק את 2p-2, אזp  מספר ראשוני. טענה זו שקולה לוגית לטענה הבאה:
               אם
p אינו מספר ראשוני, אז p אינו מחלק את 2p-2.

טענה א' נכונה תמיד – למשל, 7 ראשוני ולכן הוא מחלק את
2p-2.
                                כמו כן, לפי הטענה השקולה לוגית, 8 אינו מחלק את
28-2, ולכן 8 אינו ראשוני.      

טענה ב' אינה נכונה תמיד. למשל, 341 מחלק את
2341-2, אבל אינו מספר ראשוני.


פרמה הצליח לגלות מחדש את מה שנשכח עוד מימי קונפוציוס, והוא הכליל את מסקנתם של הסינים כאשר טען ש-
xp-x  יתחלק תמיד ב-p, אם p הוא מספר ראשוני. הוא גם טען שהצליח להוכיח  טענה זו. לפי הנוסחה הכללית הזו, x יכול להיות כל מספר ולא רק המספר 2.

 

לפני שנמשיך בדיון נזכיר לקורא את טענה 30 שבפרק השביעי של הספר יסודות מאת אויקלידס, שהוזכרה בפרק שלנו על המספרים הראשוניים. הטענה נוסחה כך: אם מספר ראשוני כלשהו מחלק את מכפלת המספרים m ו-n, אזי מספר זה מחלק לפחות אחד משני המספרים הנ"ל. משפט זה נכון גם אם המספר מורכב ממכפלה של יותר משני גורמים. כעת נוכל להמשיך: נפרק את הנוסחה xp-x לגורמים ונוציא את x מחוץ לסוגריים. נקבל: (1-xp-1)x. ביטוי זה מתחלק, לפי הטענה, ב-p. אם נניח ש-x אינו כפולה של p, אזי הוא לא יתחלק ב-p. אבל אם נאמר כבר ש-p מחלק את כל הביטוי אבל לא את x, הרי הוא יחלק בהכרח את הביטוי 1-xp-1. וכך הגענו אל המשפט הקטן  של פרמה.


במכתב שכתב פרמה בשנת 1640 לחברו פרניקל דה בסי, גם הוא מתמטיקאי צרפתי חובב כפרמה, הוא הציג בפניו את המשפט, שנודע מאוחר יותר בכינוי המשפט הקטן של פרמה, להבחינו מהמשפט הגדול או האחרון שלו, המשפט אומר ש"אם
x הוא מספר שאינו מתחלק למספר הראשוני p (את התנאי הזה ביקשנו להבליט בפסקה הקודמת), אזי הביטוי  xp-1-1חייב להתחלק ב-p ללא שארית". או בניסוח אחר: הביטוי xp-1 ישאיר 1 בהתחלקו ל-p. פרמה, כדרכו, לא סיפק הוכחה למשפטו, ונימוקו: "הייתי שולח לך את ההוכחה לולא חששתי מאריכותה". הראשון שהוכיח את המשפט היה המתמטיקאי והפילוסוף הגרמני לייבניץ, אלא שהוכחה זו נעלמה מעיני החוקרים, מפני שלייבניץ כתב אותה על מסמך לא מתוארך (אבל ידוע שהוא נכתב בוודאות לפני שנת 1683), והוא פשוט לא מצא לנכון לפרסם אותה. מסמך זה נתגלה רק בשנת 1806 - לאחר שאוילר כבר פרסם את ההוכחה למשפט והיא נקראת על שמו. ההוכחה הופיעה בסיכומי הדיונים שיצאו לאור בשנת 1736 מטעם אקדמיית סנט פיטרסברג. מאוחר יותר, בשנת 1760, פרסם אוילר גרסה כללית יותר של המשפט.

 

לו משפט זה היה נכון לגבי מספרים ראשוניים בלבד, אזי היה בידינו כלי נוח לזיהוי מספרים ראשוניים. למרבה הצער לא נותן המשפט בידינו כלי כזה. המשפט אמנם נכון תמיד לגבי מספרים ראשוניים, אבל, מאידך,  הוא לפעמים נכון גם לגבי מספרים פריקים. במילים אחרות ייתכן שיתקיים  nשיחלק את הביטוי 1-xn-1 גם אם n אינו מספר ראשוני. הראשון שגילה זאת היה, כזכור, פייר סרוס בשנת 1819. מספר המספרים הפריקים האלה שיקיימו את המשפט הוא אינסופי. כן אנו מוצאים שלכל בסיס x יכולים להופיע כמה מספרים פריקים שמקיימים את המשפט. הטבלה הבאה ממחישה זאת. אנו רושמים בטבלה את ששת המספרים הפסאודו-ראשוניים הראשונים לבסיסים 6-2 של x:

הבסיס x              המספרים הפסודו-ראשוניים הראשונים השייכים לו   

2                          341, 561, 645, 1105, 1387, 1729, ...

3                          91, 121, 286, 671, 703, 949, ...

4                          15, 85, 91, 341, 435, 451, ...

5                          4, 124, 217, 561, 781, 1541, ...

6                          35, 185, 217, 301, 481, 1105, ... 

 

חשוב שנסב את תשומת הלב לכמה עובדות שבטבלה:

א)      כל המספרים שבטבלה הם מספרים אי-זוגיים. הדוגמה הראשונה של מספר פסאודו-ראשוני זוגי נמצאה בשנת 1950: 1103*73*2=161038 לבסיס 2. מספרים מעטים כאלה נתגלו בהמשך, אבל יש כאלה המתנגדים לכלול מספרים אלה בין המספרים הפסאודו-ראשוניים. עניין של הגדרה!

ב)      מעניין שדווקא בבסיס הקטן ביותר (2) המספר הפריק הראשון הוא 341. זה מקרה נדיר, שהרי בבסיסים 1 עד 100 הוא מופיע ראשון בבסיסים 15, 60, 63  ו-78 בלבד (לא רואים זאת בטבלה). בטווח זה של הבסיסים אין מספר פריק המופיע ראשון שהוא גדול ממנו.

ב)      הטבלה מראה שמספר פריק n שמקיים את הנוסחה בבסיס מסוים לא יקיים אותה בהכרח בבסיס שונה. כך, אף אם הביטויים 1‏‏‏-390 ו-490-1 מתחלקים ל-91, הרי הביטוי 1‏-290  אינו מתחלק בו. הדבר נכון גם לגבי המספר 341 שמחלק את הביטוי 1‏-2340 וגם את הביטוי 4340-1 אבל
לא את הביטוי 1‏-3340.

ג)       על טיבם של המספרים המקווקווים נעמוד בהמשך. נסתפק, לפי שעה, בהערה שמספרים אלה יופיעו בכל הבסיסים במקום כלשהו בטבלה. אנו רואים את המספר 561 שמופיע בטבלה בבסיסים 2 ו-5, והמספר 1105 מופיע בבסיסים 2 ו-6. אילולא קטענו את הטבלה מחוסר מקום, היינו רואים אותם מופיעים בכל בסיס. כך הדבר לגבי כל המספרים המקווקווים שרואים ושלא רואים בטבלה.

 

כזכור קראנו למספרים פריקים אלה בשם מספרים פסאודו-ראשוניים בהקשר לדיוננו ב"השערה הסינית" שהתייחסה לבסיס 2. כעת אנו רואים בטבלה שמספרים כאלה מופיעים בכל בסיס. הוכח בשנת 1903 שיש אינסוף מספרים כאלה בכל בסיס נתון, אבל הם נדירים, כאמור, בהרבה מן המספרים הראשוניים "האמיתיים".

מספרי קרמייקל

השאלה האם קיים מספר פריק n שמחלק את הביטוי 1-xn-1  לכל בסיס x, שהוא זר ל-n? אכן קיימים מספרים כאלה, שהקטן שבהם הוא 17*11*3=561. מספר זה מחלק את הביטוי 1-x560, כאשר במקום x אפשר להציב כל מספר חוץ מהמספרים: 17, 11, 3 שהם הגורמים שלו (כלומר לא זרים לו). מספרים אלה נקראים מספרים פסאודו-ראשוניים מוחלטים או מספרי קרמייקל, על-שם המתמטיקאי האמריקאי רוברט קרמייקל שהיה הראשון שהבחין בקיומם. במאמרו הראשון בנושא זה, שפורסם בשנת 1910, הצביע קרמייקל על ארבעה מספרים פסאודו-ראשוניים. אחד מהם הוא 561 הנודע ושלושת האחרים הם: 17*13*5=1105; 31*13*7=2821 ו-73*31*7=15,841. שנתיים לאחר מכן הוא הציג עוד 11 מספרים כאלה בעלי שלושה גורמים ראשוניים ועוד מספר בעל ארבעה גורמים ראשוניים: 457*73*37*13=16,046,641. הוא גם העלה את ההשערה שקיימים אינסוף מספרים כאלה. השערה זו נותרה בלתי מוכחת במשך למעלה   מ-80 שנה עד שאומתה בשנת 1994 על ידי קבוצה של מתמטיקאים.

סיכום המחקר על מספרי קרמייקל מראה שאלה הם מספרים אי-זוגיים פריקים המתפרקים לפחות לשלושה גורמים ראשוניים שונים (בניסוח אחר, הם חסרי-ריבועים square-free). ידועים לנו מספרי קרמייקל שיש להם 34 גורמים ראשוניים שונים, נכון לשנת 2004.

ועכשו נשוב לטבלה מס' 1 ונציין שהמספרים המקווקווים הם מספרי קרמייקל,  ולכן אם היינו ממשיכים את הטבלה ומציינים את כל המספרים הפסאודו-ראשוניים בכל הבסיסים היינו רואים מספרים אלה (ועוד אין סוף מספרי קרמייקל) מופיעים בכל הבסיסים.

אנו מציגים להלן את שבעת מספרי קרמייקל הראשונים שבאים אחרי שלושת הראשונים המצוינים בטבלה, ואלה הם: 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341.

מעניין לציין שאם היינו מחסרים 1 ממספר קרמייקל כלשהו, אזי הוא היה מתחלק לכל אחד מהגורמים שלו לאחר שחיסרנו 1 מכל אחד מהם. נדגים: הגורמים של מספר קרמייקל הראשון הם: 17*11*3=561, אזי 560 מתחלק ל-16, ל-10 ול-2. או 17*13*5=1105 (שהוא מספר קרמייקל השני, ראה טבלה לעיל) ולכן 1104 מתחלק ל-16, ל-12 ול-4. זו הייתה השערתו של המתמטיקאי הגרמני אלווין קורסֶלְט שפרסם אותה בשנת 1899, אבל הוא לא יכול היה להוכיח אותה, עד שבא קרמייקל והדגים אותה על המספר 561. תכונה זו הפכה לאחד הקריטריונים שבאמצעותם מזהים מספרי קרמייקל.

 

האם אפשר לבנות מספרי קרמייקל לפי נוסחה? אכן אפשר. בשנת 1933 הראה המתמטיקאי האמריקאי ג' צ'רניק שאפשר לבנות קבוצה מצומצמת של מספרי קרמייקל שיש לה תכונות מוגדרות. אם נציב במקום k בביטוי הבא:

(6k+1)(12k+1(18k+1) מספר אשר יביא כל אחד משלושת הגורמים להיות מספר ראשוני, אזי מכפלתם תהיה מספר קרמייקל. תנאי זה מציב הגבלות על ערכו של k. אם, למשל, k=1 אזי כל הגורמים האלה יהיו ראשוניים ומספר קרמייקל יהיה 19*13*7 = 1729 (זהו המספר השלישי מבין מספרי קרמייקל, והוא מופיע בטבלה). לא כן אם נציבk=2,3,4,5 . אבל אם נציב את המספר 6 במקום k  אזי כל שלושת הגורמים הנ"ל יהיו מספרים ראשוניים.

 

מהדיון במשפט הקטן של פרמה התפתח הדיון למספרים פסאודו-ראשוניים ולמספרי קרמייקל. הגיע הזמן לסגור את המעגל ולשוב למשפט בהערה נועלת: יש מקרים שבהם מתחלק הביטוי 1-Xp-1  ב-p כמה פעמים. לדוגמה,
1‏-310 מתחלק  ב-112, וכן 1‏-910. חוקרים רבים סברו במשך זמן רב שפתרון מסוג זה אינו בנמצא לבסיסים
2 ו-10, ורק לאחרונה נתגלה ש- 1‏-21092 מתחלק ב-10932 ו- 1‏-23510  מתחלק ב-35112.  יתרה מזו,
המספר 1‏-68112 מתחלק ב-1133. למעשה תמיד אפשר למצוא בסיס כלשהו שבו קשר זה מתקיים לגבי
הריבוע של כל מספר ראשוני שנבחר.

מספרים ראשוניים
Prime Numbers

מספר ראשוני הוא מספר טבעי p הגדול מ-1, שאין לו מחלקים חוץ מאשר 1 ועצמו.
המספרים: 2, 3, 5, 7, 11, למשל, הם מספרים ראשוניים. מספר הגדול  מ-1 שאיננו מספר ראשוני
הוא מספר פריק כי אפשר לפרקו ולהציגו כמכפלה של מספרים קטנים ממנו,  למשל 6, 8, 27, 35 ועוד.

המספר 1 לא נחשב למספר ראשוני (גם לא מספר פריק), אף כי בתולדות המתמטיקה היו מתמטיקאים שראו בו
מספר ראשוני. ברשימה של 5600  המספרים הראשוניים הראשונים שפרסם בשנת 1933 מוסד מדעי בוושינגטון
מתנוסס המספר 1 בראש הרשימה! סיבה טובה לא לכלול אותו בין המספרים הראשוניים היא שאילו כללנו אותו,
היה מחייב הדבר להכניס שינוי ב"משפט הבסיסי של האריתמטיקה" (ראה להלן), האומר שאפשר לבטא כל
מספר פריק כמכפלה של מספרים ראשוניים בדרך אחת ויחידה. לפי תנאי זה היה יוצא, למשל, ש-
a*b*c לא שווה
בדיוק ל-
a*b*c*1 או ל-a*b*c*1*1*1. למתמטיקאי השוויצרי אוילר הייתה סיבה אחרת לדחות את הקביעה ש-1
יכול להיחשב למספר ראשוני. הוא מציין את העובדה שמספר המחלקים של כל מספר ראשוני הוא 2 – המספר
עצמו ו-1. אם נחשיב את המספר 1 למספר ראשוני, הרי זה לא יהיה תואם את הכלל, כי למספר 1 יש רק מחלק
אחד והוא המספר עצמו. הדרך הפשוטה ביותר ליישב את הסתירה היא לקבוע ש-1 איננו מספר ראשוני. בסופו
של דבר אפשר לפטור את כל העניין בטענה ש"הכול עניין של הגדרה".


המשפט הבסיסי של האריתמטיקה -    
The Fundamental Theorum of Arithmetics

 

המתמטיקאי היווני הקדום אאוקלידס (350-‏300 לפני הספירה בקירוב) כתב ספר מונומנטלי בשם יסודות, שהוא
ספר בן שלושה-עשר פרקים המכילים 465 משפטים מתחום גיאומטריית המישור והמרחב, וכן מתחום תורת
המספרים. את פרק
VII של ספרו הוא פותח ברשימה של עשרים ושתיים הגדרות של מונחים בסיסיים
באריתמטיקה. אחרי ההגדרות באות שלושים ותשע טענות
propositions שדנות, בין  השאר, במספרים
ראשוניים ובמספרים פריקים. כמה מן הטענות קשורות לענייננו,
ואלה הן (בניסוח שלנו):

א.      אם מספר ראשוני כלשהו מחלק את מכפלת המספרים m ו-n, אזי מספר זה מחלק לפחות אחד משני המספרים הנ"ל.           

ב.      אם מספר ראשוני מחלק מכפלה של כמה מספרים ראשוניים, הרי מספר זה חייב להיות זהה
לאחד מהמספרים הראשוניים האלה. משפט זה נסמך על המשפט הקודם.

ג.       כל מספר הגדול מ-1 מתחלק במספר ראשוני כלשהו. אם מספר זה הוא ראשוני בעצמו, הרי
שהדבר מובן מאליו. ואם הוא פריק, הרי הגורם הקטן ביותר מבין הגורמים המרכיבים אותו הוא
מספר ראשוני.

 

כעת אנו בשלים להוכיח את מה שקרוי בתולדות המתמטיקה המשפט הבסיסי של האריתמטיקה: כל מספר
פריק
, אפשר לבטאו בצורה אחת ויחידה כמכפלה של מספרים ראשוניים.
במילים אחרות, כל מספר טבעי
פריק ניתן לפרקו באופן חד-ערכי לגורמים ראשוניים. ניקח, לדוגמה, את המספר 60. הגורמים הראשוניים שמהם
הוא מורכב הם: 2*2*3*5. המשפט הבסיסי אומר שאין שום דרך אחרת לפרק מספר זה לגורמיו הראשוניים -
זולת האפשרות לכתוב אותם מספרים בסדר שונה. נוכיח משפט זה בדרך הבאה: לפי טענה ג', אחד הגורמים של
כל מספר פריק חייב להיות מספר ראשוני. אם הגורם השני הוא גם מספר פריק, הרי גם אותו אפשר לפרק
למספר ראשוני ועוד מספר נוסף – וכך יוכל התהליך להימשך עד שמגיעים למצב שכל הגורמים המרכיבים את
המספר המקורי יהיו מספרים ראשוניים.

 

כעת יש להוכיח שאפשר לעשות זאת רק בדרך אחת ויחידה. נוכיח זאת בדרך הבאה: נניח שיש שתי אפשרויות
לפרק את המספר לגורמיו הראשוניים. באפשרות הראשונה יהיו הגורמים הראשוניים
p1*p2*p3 ובאפשרות
השנייה יהיו הגורמים הראשוניים
q1*q2*q3; אבל לפי טענה ב לעיל כל אחד מהמספרים הראשוניים p1*p2*p3 חייב
להיות זהה לאחד מהגורמים הראשוניים
q1*q2*q3. בסופו של דבר זה אומר שסדרת המספרים הראשוניים
הראשונה זהה לסדרת המספרים הראשוניים השנייה. כיוון שחוק החילוף חל על הכפל, אין שום חשיבות לסדר
שבו ייכתבו המספרים הראשוניים האלה. מקובל לסדר אותם מהקטן לגדול.


המספר האינסופי של מספרים ראשוניים

 

לפני שנדון בהוכחתו של אאוקלידס, ראוי לעיין בדוגמה אחת או שתיים שתסייענה לנו להבנת ההוכחה. הבה ניקח
מספר פריק כלשהו, נאמר 33. מספר זה הוא מכפלה של 11*3, שהם שניהם מספרים ראשוניים. אם נוסיף
למספר זה 1, נקבל את המספר 34, שאינו מתחלק לא ב-11 ולא ב-3, אלא דווקא ב-2 וב-17. ניקח מספר אחר,
נאמר 42, שהוא מכפלה של 7*3*2, שכולם מספרים ראשוניים. אם נוסיף למספר זה 1, נקבל את המספר 43,
שגם הוא אינו מתחלק לא ב-2, לא ב-3 ולא ב-7. מסקנתנו הכללית תהיה, על-סמך שתי הדוגמאות האלה ועוד
דוגמאות רבות אחרות: אם מוסיפים 1 למספר שהוא מכפלה של כמה מספרים ראשוניים, המספר שנוצר אינו יכול
להתחלק באותם מספרים ראשוניים ללא שארית. ואז או שהמספר החדש שנוצר יהיה בעצמו מספר ראשוני, כמו
בדוגמה השנייה, או שהוא מספר פריק המתפרק למספרים ראשוניים השונים מהמספרים הראשוניים המקוריים -
כמו שהראינו בדוגמה הראשונה.

 

כעת אנו בשלים להבין את הוכחתו של אאוקלידס. אאוקלידס טען: נניח שמספר המספרים הראשוניים הוא סופי.
פירושו של דבר שקיים מספר ראשוני שהוא הגדול ביותר מבין המספרים הראשונים הקיימים בכלל (גודלו של
מספר ראשוני זה אינו מעניין אותנו כלל). נסמן מספר זה באות
P. ועתה נכפיל מספר זה בכל המספרים
הראשוניים הקטנים ממנו לפי הסדר. התוצאה תהיה מספר פריק שמתחלק בכל אחד מהמספרים הראשוניים
האלה, או במכפלות שונות שלהם. אם נוסיף למכפלה הגדולה הזו את המספר 1, נקבל את המספר החדש
N,
שגודלו יהיה:

1+ (P....*13*11*7*5*3*2) = N

ברור שמספר זה אינו יכול להתחלק בדיוק לאף אחד מהמספרים הראשוניים שהשתמשנו בהם לקבלתו. השארית
תהיה תמיד 1. וכאן קיימות שתי אפשרויות לגבי המספר
N:

        א.        N הוא מספר ראשוני חדש הגדול מכל המספרים הראשוניים שהכרנו.

        ב.        N הוא מספר פריק שכל הגורמים שלו חייבים להיות יותר גדולים מ-P (כיוון שכבר נוכחנו שאף אחד
מהגורמים הראשוניים הקטנים מ-
P אינו יכול להיות המחלק שלו).

בשני המקרים נסתרת ההנחה שהנחנו, שקיים מספר סופי של מספרים ראשוניים ש-P הוא הגדול שבהם.
המסקנה, אם כן: אין מספר ראשוני שיכול להיחשב כמספר הראשוני הגדול ביותר, שאחריו יש רק מספרים
פריקים. במילים אחרות: יש אינסוף מספרים ראשוניים.

 

הדוגמה הבאה תלך בעקבות הוכחתו של אאוקלידס ותמחיש אותה:

7 =1+ 3*2                                                - 7 הוא מספר ראשוני הגדול מ-3.

31 = 1+ 5*3*2                                           - 31 הוא מספר ראשוני הגדול מ-5.

211 = 1+ 7*5*3*2                                     - 211 הוא מספר ראשוני הגדול מ-7.

2311 =1+ 11*7*5*3*2                               - 2311 הוא מספר ראשוני הגדול מ-11.

30031 =1+ 13*11*7*5*3*2                        -30031 הוא מספר פריק, שהגורמים                                                      
                                  
                                          שלו  הם  509*59, ושניהם גדולים  יותר מ-13.

510511 = 1+ 17*13*11*7*5*3*2               - 510511 הוא מספר פריק, שהגורמים שלו הם:                      
                                               
                                277*97*19, וכולם גדולים מ-17.                      

 


המרווחים בין המספרים הראשוניים

 

אחד ההיבטים לבדיקת "צפיפותם" של מספרים ראשוניים הוא בדיקת אופן הפיזור שלהם בין המספרים הטבעיים.
היבט זה נשאר בגדר תעלומה מאז ומתמיד. פירושו של דבר שאי אפשר לצפות מראש אחרי כמה מספרים יופיע
המספר הראשוני שבא אחרי המספר הראשוני שבידינו. לו שאלנו מישהו: מהו המספר הבא בסדרה הבאה: 403,
413, 427, 433, 439,... קרוב לוודאי שהיה מתקשה לפענח את הקושיה, אלא אם כן היה מזהה שהמספרים
הללו הם מספרים ראשוניים, והיה מצהיר שהמספר הבא הוא 481 – קפיצה בלתי צפויה של 42 מספרים. כבר
בזמנו כתב אוילר על התופעה: "מתמטיקאים ניסו לגלות סדר כלשהו בסדרה של מספרים ראשוניים. לנו יש יסוד
לחשוב שזוהי תעלומה שהמוח האנושי אינו מסוגל לפענח". מתמטיקאי אחר כתב בשנת 1987: "יעברו עוד
מיליוני שנים עד שנפענח את חידתם של המספרים הראשוניים, וגם אז לא יהיה הפענוח שלם, כיוון שאנו
מתמודדים עם האינסוף". כל זה מצביע על האופי הכאוטי של מספרים אלה.

 

ההפרש הקטן ביותר בין שני מספרים ראשוניים הוא 1, שהוא ההפרש בין שני המספרים הראשוניים 2 ו-3, וזה
מכיוון שהמספר 2 הוא המספר הראשוני היחיד שהוא זוגי. מלבד המקרה היחיד והמיוחד הזה, ההפרש הקטן
ביותר בין שני מספרים ראשוניים הוא 2. לשני מספרים ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 2 קוראים מספרים
ראשוניים תאומים
twin primes. עיון שטחי בטבלת המספרים הראשוניים שבעמ' 7 מראה לנו שהמרווחים בין
המספרים הראשוניים הם לא סדירים. נכון שהמרווחים הולכים וגדלים עם ההתקדמות בציר המספרים, אבל אין
לומר בשום אופן שמגמה זו עקיבה ואין בה נסיגות פה ושם.

הטבלה הבאה תבהיר עוד יותר את העניין:

 

המאה ה-               ההפרש הגדול ביותר בין שני                   מס' המספרים

                           מספרים ראשוניים עוקבים                        הראשוניים התאומים

1                                        8 (89-97)                                                   8

2                                        14 (113-127)                                             7

3                                        12 (211-223)                                             4

4                                        14 (317-331)                                             2

5                                        10 (409-419)                                             3

6                                        12 (509-521)                                             2

7                                        12 (661-673)                                             4

8                                        14 (773-787)                                             0

9                                        14 (863-877)*                                                          5

10                                      14 (953-967)                                             0

*

*

*

101                            26 (10009-10037)                                          4

102                            22 (10111-10133)                                          1

103                            20 (10223-10243)                                          1

104                            22 (10369-10391)                                          2

105                            20 (10433-10453)                                          2

*

*

*

500                          34 (49957-49991)                                            3

501                          16 (50053-50069)                                            2                           

502                          30 (50177-50207)                                            1

503                          30 (50231-50261)                                            1

504                          18 (50341-50359)                                            0

* ההפרש הגדול ביותר באלף הראשון נמצא בין המאה התשיעית והעשירית, והוא בין 887 ל-907 – הפרש של 20.

 

הטבלה מראה:

        א.        כל המרווחים בין המספרים הראשוניים הם מספרים זוגיים (חוץ מהמקרה המיוחד שבין 2 ו-3, כפי
שצוין לעיל). זה מובן, מכיוון שכל המספרים הראשוניים (חוץ מ-2) הם מספרים אי-זוגיים.

        ב.        ככל שמתקדמים בציר המספרים יש מגמה שההפרשים בין שני מספרים ראשוניים עוקבים הולכים
וגדלים, אבל זו רק מגמה והגידול אינו עקיב. יש עליות וירידות. העובדה שקיימת אפשרות שבמספרים
גדולים מאוד (שבהם המרווחים בין המספרים הראשוניים העוקבים גדולים) יופיעו פתאום מספרים
ראשוניים תאומים, שמצמצמים את המרווח לשתיים, מעידה על אי הסדירות שציינו אותה.

         ג.         ככל שמתקדמים בציר המספרים יש מגמה שמספר המספרים הראשוניים התאומים הולך וקטן. אבל,
שוב, מגמה זו אינה עקיבה. אם זוהי המגמה, שמא קיימת האפשרות שמספרים אלה ייעלמו כליל,
כאשר נתקדם בציר המספרים לעבר מספרים אסטרונומיים. בשאלה זו נדון בהמשך.

        ד.        אבל אם נתבונן היטב בטבלה שבעמ' 15-14 ונחפש לפיה את זוגות המספרים התאומים, נראה
שצורתו הכללית של המספר הקטן מבני הזוג היא 1-
n6, ואילו הצורה הכללית של המספר הגדול
שביניהם היא 1+
n6. נקח לדוגמה את המאה ה-9 שיש בה, לפי הטבלה 5 זוגות של מספרים תאומים:
811-809, 823-821, 829-827, 859-857 ו-881-‏883. המספר הקטן מבין כל זוג משאיר שארית של
5 בהתחלקו ב-6, ואילו המספר הגדול מביניהם משאיר 1 בהתחלקו ב-6. במילים אחרות הצורה
הכללית של המספרים התאומים (חוץ מהזוג הראשון: 3‏-5) היא 1
±  n6.

 

לעומת ההפרש הקטן ביותר בין שני מספרים ראשוניים, יש בידינו זוג מספרים ראשוניים עוקבים ששהפרש
ביניהם הוא 100, שזהו רווח גדול ונדיר למדיי (אבל אי אפשר לומר שהוא ההפרש האפשרי הגדול ביותר).
זוג המספרים הוא: 396733 ואחריו המספר 396833. זהו הזוג הראשון מסוגו מבין המספרים הראשוניים.

 

לצד המספרים התאומים קיימים זוגות מספרים ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 4. למשל,  7-3, 11-7, 17-
13, 23-19 ועוד. אלה מכונים בשם המאולץ מספרים דודנים
cousin primes .

לצד אלה ישנם זוגות מספרים ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 6. כגון, 11-5, 13-7, 19-13, 23-17, ועוד –
להם ניתָן השם המבודח מספרים סקסיים
sexy primes. מי שמחפש סיפור מפולפל מאחורי המספרים
האלה יתבדה. הם נקראים כך פשוט מפני שהמילה
sex  בלטינית מקבילה למילה six באנגלית!

קיימות גם שלשות סקסיות sexy triplets, כגון: 7, 13, 19 ; 17, 23, 29 ; 31, 37, 43 ; 47, 53, 59
ועוד.

וגם רביעיות סקסיות sexy quadruplets לא חסרות: 11, 17, 23, 29 ; 41, 47, 53, 59 ; 61, 67, 73,
79 ; 251, 257, 263, 269 ועוד.

לעומת הנ"ל קיימת אך ורק חמישייה סקסית sexy quintuplet אחת והיא: 5, 11, 17, 23, 29. רק אחת
– כיוון שאיבר אחד מתוך חמישיית מספרים שצורתם
6n±1 חייב להתחלק ב-5, ולכן הוא לא יכול להיות
ראשוני אלא אם כן הוא המספר 5 בעצמו.


סדרות של מספרים ראשוניים

 

אף כי לא נמצאה עד כה הוכחה מתמטית חותכת לאינסופיותם של מספרים ראשוניים תאומים, כמעט כל
המתמטיקאים העוסקים בתחום משוכנעים שמספרם אכן אינסופי. באין הוכחה, מה שנותר לעשות בנידון הוא
לחפש את המספרים הראשוניים התאומים הגדולים ביותר. בשנת 2009 נתגלה זוג המספרים התאומים הגדול
ביותר, וכל אחד מהם מכיל 100355 ספרות. בהשוואה למספר הספרות שמכילים מספרים ראשוניים רגילים,
מספר זה לא נחשב לגדול במיוחד. כולם מבינים שזה שיא על תנאי, ולא יחלוף זמן רב עד שיתגלו מספרים יותר
גדולים מהם.

 

ואם כבר נחקרים במשך דורות המספרים התאומים, אין סיבה שלא ייחקרו שלשות triplets או רביעיות
quadruplets של מספרים ראשוניים. שלשה היא סדרה של שלושה מספרים ראשוניים שההפרש בין כל שניים
מהם הוא 2 או 4. במונחים כלליים הסדרה תיראה כך: 6+
p, 2+p, p או 6+p, 4+p, p: (11, 7, 5),       (13 ,11,
7), (17, 13, 11), (19, 17, 13), (43, 41, 37) וכן הלאה. ברור מאליו שכל שלשה כזאת תכיל זוג מספרים
תאומים, זוג של מספרים דודנים וזוג של מספרים סקסיים. כמו כן, מספר ראשוני מסוים יכול להיות "חבר" בכמה
שלשות, אבל לא יותר משלוש. למשל, המספר 103 יכול להיות חבר בשלוש השלשות הבאות: 97, 101, 103;
101, 103, 107; 103, 107, 109. כאשר זה קורה, אפשר יהיה להרכיב מהאברים השונים של שלוש השלשות
חמישייה אחת. בדוגמה שלנו: 97, 101, 103, 107, 109.

קיימת שלשה אחת ויחידה שההפרש בין המספרים הראשוניים שלה הוא 2 והיא: 3, 5, 7. לא יכולה להיות שום
שלשה נוספת כזאת, כיוון שאחד מהמספרים: 4+
p, 2+p, p חייב להתחלק בשלוש, ולכן הוא לא יכול להיות מספר
ראשוני אלא אם כן 3=
p.

נכון לשנת 2010 השלשה הגדולה ביותר מכילה מספרים ראשוניים בני 10047 ספרות. שלשה זו נתגלתה בשנת
2008 ומאז לא נתגלתה שלשה גדולה ממנה. כמו במקרה של מספרים תאומים, יש המשערים שקיים מספר
אינסופי של שלשות כאלה, אבל אין הוכחה לכך.

 

רביעייה היא סדרה של ארבעה מספרים ראשוניים שצורתה: 8+p, 6+p, 2+p, p. נוכל לגלות רביעיות כאלה בלוח
המספרים הראשוניים שבעמ' 7 : (11, 13, 17, 19),

(101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829) ועוד – שני זוגות עוקבים של מספרים
תאומים שההפרש בין זוג אחד למשנהו הוא 4. יתרה מזאת כל רביעייה מכילה שתי שלשות חופפות. הרביעייה
הראשונה לעיל, למשל,  מורכבת מהשלשות: 11, 13, 17 ו- 13, 17, 19. כפי שרואים כל הרביעיות נופלות
באותה עשרת, ולכן מסתיימים אבריהם בספרות 1, 3, 7, 9. הרביעייה הגדולה ביותר נתגלתה באפריל שנת
2005, וכל מספר ראשוני בתוכה מכיל 2058 ספרות.

 

קיימות שתי צורות כלליות של חמישיות. הראשונה היא בעלת הצורה של  p, p+4, p+6, p+10, p+12 והשנייה
בעלת הצורה של
p, p+2, p+6, p+8, p+12 . נביא שתי דוגמאות מכל צורה. לצורה הראשונה שייכת הדוגמה
שהבאנו לעיל, ועוד: 7, 11, 13, 17, 19.  לצורה השנייה: 5, 7, 11, 13, 17 ו- 11, 13, 17, 19, 23.

היה אפשר כמובן להמשיך ולהציג שישיות, שביעיות וכו' עד k-יות. ההגדרה של  k-tuplet תהיה: סדרה של
מספרים ראשוניים עוקבים שהמרחק בין האיבר הראשון לאחרון שלה הוא המרחק הקטן ביותר האפשרי. ראינו
שבשלשות מרחק זה הוא 6, ברביעיות - 8 ובחמישייה - 12.                       

הסדרה הגדולה ביותר שנחקרה עד כה היא סדרה בת 18 איברים.

מספרים ראשוניים בסדרות חשבוניות

 

סדרה חשבונית היא סדרה של מספרים (לפחות 3) שההפרש בין איבריה הוא מספר קבוע. סדרה מוכרת של
מספרים ראשוניים היא השלישייה: 3, 5, ו-7. זוהי, כזכור, הסדרה היחידה שההפרש בין איבריה הוא 2. זוהי גם
הסדרה החשבונית הקטנה ביותר המכילה 3 מספרים ראשוניים עוקבים. סדרה נוספת בעלת 3 מספרים ראשוניים
עוקבים היא הסדרה: 47, 53, 59.

השאלה הראשונה שנשאל היא: האם סדרות חשבוניות רגילות כלשהן מכילות בהכרח מספרים ראשוניים, ואם כן
– כמה? המתמטיקאי הגרמני פטר דיריכּלֶה
Dirichlet (1859-1805) עונה בחיוב על השאלה הראשונה, ועל
השאלה השנייה הוא מנסח בשנת 1837 את מה שמכונה בשפת המתמטיקה כמשפט דיריכּלה     
D. theorem. 
משפט זה מנוסח כך: "אם
a (האיבר הראשון בסדרה) ו-b (ההפרש בין האיברים) הם מספרים חיוביים זרים זה
לזה (אין להם גורם משותף חוץ מ-1), אזי הסדרה החשבונית:
a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b…. תכיל אינסוף של
מספרים ראשוניים. משפט זה אינו מתייחס, כפי שרואים, למספרים ראשוניים המסודרים בעצמם בסדרה
חשבונית.

 

 

סדרות חשבוניות של מספרים ראשוניים

 

קיימות סדרות חשבוניות של מספרים ראשוניים בעלות איברים שונים והפרשים שונים בין האיברים. אנו מגדירים
כסדרה חשבונית כזו שמכילה יותר משני איברים. להלן מבחר של סדרות כאלה:

§        3, 7, 11 היא, כאמור, הסדרה הקטנה ביותר בעלת 3 איברים וההפרש בין איבריה הוא 4 (הסדרה 3,
5, 7 היא, כאמור, יוצאת דופן והיא יחידה במינה). בביטוי "הקטנה ביותר" אנו מתכוונים שהאיבר הגדול
ביותר בדוגמה הוא המספר האפשרי הקטן ביותר. בשנת 1944 הוכח שיש אינסוף של שלשות של
מספרים ראשוניים המסודרים בסדרה חשבונית.

§        5, 11, 17, 23 היא הסדרה הקטנה ביותר בעלת 4 איברים (הפרש – 6)

§        נוסיף לסדרה הקודמת את המספר 29 ונקבל את הסדרה הקטנה ביותר בעלת 5 איברים.

§        7, 37, 67, 97, 127, 157 היא הסדרה הקטנה ביותר בעלת 6 איברים (הפרש – 30).

§        7, 157, 307, 457, 607, 757, 907 היא הסדרה הקטנה ביותר בעלת 7 איברים (הפרש 150)

§        199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, היא הסדרה הקטנה ביותר שיש בה 8 איברים
(הפרש – 210).

§        נוסיף לסדרה הקודמת את המספר 1879 ונקבל את הסדרה הקטנה ביותר בעלת 9 איברים.

§        נוסיף לסדרה הקודמת את המספר 2089 ונקבל את הסדרה הקטנה ביותר בעלת 10 איברים.

 

אנו רואים שככל שאיברי הסדרה רבים יותר כן נעשים האיברים בתוכה גדולים וכן גם ההפרשים בין האיברים.

נכון לאפריל 2010 הסדרה החשבונית הארוכה ביותר של מספרים ראשוניים שנתגלתה היא בעלת 26 מספרים
ראשוניים. מעניין לציין שהסדרה הראשונה בעלת 25 איברים נתגלתה בשנת 2008 על ידי זוג מתמטיקאים
שאחד מהם הוא הישראלי רענן חרמוני.

 

 

סדרות חשבוניות של מספרים ראשוניים עוקבים

 

הסדרה החשבונית הקטנה ביותר של מספרים ראשוניים עוקבים היא הסדרה: 3, 5, 7. סדרה נוספת כזו היא:
47, 53, 59. סדרה כזו בעלת ארבעה איברים היא: 251, 257, 263, 269; אחריה מופיעה הסדרה 1741, 1747,
1753, 1759. סדרות ארוכות יותר לא מצאתי במקורות. המקורות מציינים רק שנמצאו סדרות חשבוניות של
מספרים ראשוניים עוקבים עד 10 איברים. כנראה שהסדרות שלא צוינו כאן מכילים מספרים עצומים בגודלם.

 

ישנן גם סדרות חשבוניות של מספרים ראשוניים שאיבריהם הם מספרים פאלינדרומיים (מספר פאלינדרומי
palindromic הוא מספר שסדר ספרותיו זהה אם קוראים אותן משמאל לימין או מימין לשמאל: 101, 787 ועוד).
לא ברור אם יש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים פאלינדרומיים):

 

§        13931, 14741, 15551, 16361 (4 איברים; הפרש 810)

§        10301, 13331, 16361, 19391 (כנ"ל; הפרש 3030)

§        70607, 73637, 76667, 79697 (כנ"ל)

§        94049, 94349, 94649, 94949 (כנ"ל; הפרש 300)

 

ועתה נשוב לעניין המרווחים בין המספרים הראשוניים. למעשה, אנו בעצמנו נוכל לקבוע את גודל המרווח בין שני
מספרים ראשוניים ככל שנחפוץ.

נתבונן בסדרת המספרים הבאה:

                   (1+n)+!(1+n) ,...., 4+!(1+n), 3+!(1+n), 2+!(1+n)             (1> n)

(הסימן (!) נקרא עַצֶרֶת. n! פירושו מכפלה של כל המספרים הטבעיים מהמספר 1  ועד n. כך, !4=4*3*2*1=24.

אם נציב 4 במקום n, למשל, נראה שהמספר הראשון בסדרה זו הוא מספר המתחלק בשתיים, השני מתחלק ב-
3, השלישי ב-4 והרביעי ב-5. פירושו של דבר שיש לנו חמישה מספרים פריקים עוקבים שהם: 122, 123, 124,
125, 126. כך קיבלנו מרווח של לפחות חמישה מספרים פריקים. בפועל מספרים אלה הם רק חלק משבעה
מספרים פריקים בין המספרים הראשוניים 119 ו-127.

 

נוסחה זו אמנם פועלת, אבל היא לא נותנת את המרווח המבוקש הראשון. בדוגמה שלנו, מרווח של 5 מספרים
פריקים כבר קיים בין המספר הראשוני 23 ל-29. לכן שיטה זו בטוחה, אבל איננה מעשית, במיוחד כאשר המרווח
המבוקש הוא גדול. גם אם נבקש מרווח של 9 מספרים פריקים (שהוא לא גדול במיוחד), נצטרך לפי נוסחה זו
לחשב !10 שהוא 3,628,800. בפועל נוכל למצוא מרווח של 13 מספרים פריקים בין המספרים 113 ל-127.

 

 

גילויים של מספרים ראשוניים

 

במשך מאות בשנים ניסו מתמטיקאים לגלות דרך פשוטה ויעילה שמאפשרת להם לגלות את כל המספרים
הראשוניים עד למספר נתון. אבל אם מספר זה הוא מספר גדול, העבודה נעשית מייגעת ולא פשוטה. וכאשר
מספר זה הוא גדול מאוד מאוד, אזי היא נעשית בלתי אפשרית, בהתחשב בעובדה שמספר המספרים הראשוניים
בכלל הוא אינסופי. במקרים אלה פיתחו מתמטיקאים נוסחאות שמשכללים אותן כל הזמן שעוזרות לאמוד את
מספרם של מספרים ראשוניים עד מספר נתון. הסטיות בין האומדנים למספרם בפועל (במקרים שמספר זה ידוע)
הן פעוטות לפעמים.

 

אולם גם אם המספרים לא כל כך גדולים (נאמר, מספר בן חמש ספרות) – גם אז לא קל לזהות ממבט ראשון אם
המספר הוא ראשוני או פריק. קיימת כמובן הבדיקה השטחית הראשונה שעוזרת לזהות את המספרים הפריקים.
אם המספר מסתיים בספרה זוגית, באפס או בחמש, הרי ברור שהוא פריק. אם סכום ספרותיו מתחלק ב-3 או ב-
9 הרי המספר כולו מתחלק ב-3 או ב-9 בהתאם. מעבר לכך קשה להחליט על ראשוניותו או פריקותו של מספר,
ואז יש לנקוט בדרך של פירוק לגורמים שהוזכרה בראשית הפרק. שם נאמר: "לבדוק אם המספר הנתון מתחלק
בכל אחד מסדרת המספרים הראשוניים, החל במספר הראשוני הקטן ביותר ואחר כך בגדולים ממנו לפי הסדר."
השאלה לא נשאלה אז: איך נדע מה הם המספרים הראשוניים הבאים בתור לבדיקה בשלבים המתקדמים של
תהליך הפירוק? איך נדע, למשל, מהו המספר הראשוני שבא אחרי המספר 211? סביר שנשתמש ברשימה
מוכנה של מספרים ראשוניים עוקבים בתחום מוגדר של מספרים, אבל איך נוצרו רשימות כאלה? דרך עתיקת
יומין בדוקה ופשוטה היא להשתמש במה שקרוי "הנפה של אֶרַטוֹסְתֶנֶס".

 

 

הנפה של ארטוסתנס

 

ארטוסתנס Eratosthenes (276-194 לפני הספירה) היה מלומד יווני שכיהן כספרן ראשי של הספרייה
המפורסמת באלכסנדריה. בין עבודותיו המדעיות הוא התפרסם במדידת החלק של קו האורך העובר בין אסואן
לאלכסנדריה. מדידה זו הובילה אותו לאמוד את היקף כדור הארץ. אומדן זה נחשב כיום לאומדן מדויק למדיי.

 

בתחום המתמטיקה הוא נודע בהמצאת שיטה פשוטה לגילוי מספרים ראשוניים בקרב תחום מוגדר, אבל מצומצם
יחסית, של מספרים. שיטה זו נקראה במשך הזמן הנפה של ארטוסתנס, שדרכה עוברים המספרים הפריקים
ומשאירה בתוכה את המספרים הראשוניים.

כאמור, כאשר הגבול העליון של המספרים שמבקשים לגלות את המספרים הראשוניים שבתוכם הוא נמוך יחסית
(כמה עשרות אלפים), הרי הנפה הזו היא כלי נוח ופשוט.

 

העיקרון של הנפה פשוט ביותר: נרשום את המספרים הטבעיים עד המספר n שברצוננו לכלול בטבלה; נסמן את
המספר הראשוני הקטן ביותר, שהוא 2 (1 לא נחשב למספר ראשוני, כי אין לו 2 גורמים), ואחר כך נמחק את כל
הכפולות שלו על-ידי העברת קו קטן על המספרים. המספר הבא בטבלה שמופיע אחרי 2 הוא בהכרח המספר
הראשוני הבא (אחרת הוא היה נמחק כבר). זהו המספר 3; נסמן אותו (בעיגול, למשל) ונמחק את כל הכפולות
שלו מהטבלה (הכפולות הזוגיות של 3 כבר נמחקו בשלב הקודם), שוב על-ידי העברת קו עליהן. במספר הראשוני
הבא ובזה שאחריו ננהג באותה דרך. בסופו של דבר יישארו בטבלה כל המספרים הראשוניים ואילו המספרים
הפריקים נמחקו באמצעות קו אחד או יותר עליהם. מספר הקווים על מספר פריק כלשהו מצביע על מספר
הגורמים הראשוניים הנפרדים
distinct prime factors שמהם מורכב המספר. על המספר 42, למשל, העברנו 3
קווים. זה אומר שהוא מתפרק לשלושה גורמים ראשוניים נפרדים והם: 2, 3 ו-7. בטבלה יותר גדולה נצטרך
להעביר 4 קווים על המספר 420. לכן המספרים הראשוניים הנפרדים שלו הם: 2, 3, 5 ו-7. בתהליך הפירוק
לגורמים הרגיל של מספר זה מופיע הגורם 2 פעמיים, אבל אנו העברנו עליו קו רק פעם אחת. זו המשמעות של
המילה "נפרדים".

 

תהליך הסימון והמחיקה מתקצר אם נזכור שאין צורך לסמן את כל המספרים הראשוניים בזה אחר זה בטבלה.
אם רוצים, למשל, לגלות את כל המספרים  הראשוניים בטבלה שמכילה 500 מספרים, דיינו אם נסמן רק את אלה
המצויים בתחום ה-500
, כיוון שכל מספר פריק, n, יש לו גורם ראשוני השווה ל-√n או קטן ממנו. במילים אחרות
הכפולות של המספרים הראשוניים עד
√n כבר נמחקו, והמספרים שנותרו שהם גדולים מ- √n יהיו כולם מספרים
ראשוניים.

 

בדוגמה שלנו די אם נסמן את המספרים הראשוניים עד 500, שהוא בערך 22 - בסך הכל שמונה: 2, 3, 5, 7,
11, 13, 17 ו-19. הכפולות שלהם נמחקו והותירו את שאר המספרים הראשוניים עד 500 בתוך הנפה.

 

צורתם של המספרים הראשוניים

 

בבית-הספר היסודי מלמדים על הנפה של ארטוסתנס, והילדים מתרגלים על טבלה של 10x10 המכילה את מאת
המספרים הראשונים. אחרי שמנפים את המספרים הפריקים נשארים בטבלה המספרים הראשוניים מסודרים
בארבעה טורים: הטור הראשון, השלישי , השביעי והתשיעי (בטורים: השני והחמישי יש רק מספר ראשוני אחד
בכל טור):

 

-              -              -              7             -              5             -              3             2             -

-              19           -              17           -              -              -              13           -              11

-              29           -              -              -              -              -              23           -

-              -              -              37           -              -              -              -              -              31

-              -              -              47           -              -              -              43           -              41

-              59           -              -              -              -              -              53           -              -

-              -              -              67           -              -              -              -              -              61

-              79           -              -              -              -              -              73           -              71

-              89           -              -              -              -              -              83           -              -

 -             -              -              97           -              -              -              -              -              -

 

אנו רואים שכל המספרים הראשוניים (מלבד 2 ו-5) מסתיימים בספרות 1, 3, 7     ו-9. זה מובן, כיוון שכל
המספרים הראשוניים (חוץ מ-2) הם אי-זוגיים ולכן הם מסתיימים בספרות האלה (כל מספר המסתיים ב-5 הוא
פריק, חוץ מהמספר 5 עצמו, כפי שהטבלה מראה). כמו כן מראה הטבלה שטורים אלה לא מלאים; זה אומר שלא
כל מספר המסתיים ב-1, 3, 7 או 9 הוא ראשוני. מלבד הדברים הנ"ל, שכמעט כולם מובנים מאליהם, טבלה זו
אינה מלמדת דבר חדש על צורתם של מספרים ראשוניים.

אבל אין שום הכרח לרשום את המספרים בעשרה טורים, ואפשר לרשום אותם בכל סדר שנחפוץ. בטבלה הבאה
מסודרים המספרים עד 60 בשישה טורים ובתוכם מפוזרים המספרים הראשוניים:

 

-              5             -              3             2             -

-              11           -              -              -             7

-              17           -              -              -              13                         

-              23           -              -              -              19                         

-              29           -              -              -              -                            

-              -              -              -              -              31

-              41           -              -              -              37                         

-              47           -              -              -              43                         

-              53           -              -              -              -                            

-              59           -              -              -              -                            

 

אנו רואים שהמספרים הראשוניים כולם (מלבד המספרים 2 ו-3) מרוכזים בשני טורים בלבד: הראשון והחמישי.
העובדה שחלק מהמספרים הראשוניים מרוכזים בטור הראשון אומרת שכל מספר ראשוני בו משאיר 1 בהתחלקו
ב-6, והעובדה שהחלק האחר מרוכז בטור החמישי אומרת שכל מספר ראשוני משאיר 5 בהתחלקו ב-6, או
במילים אחרות יש להוסיף לו 1 כדי שיתחלק ב-6. המסקנה תהיה אפוא שהצורה הכללית של מספרים ראשוניים
הגדולים מ-3 היא 1
± n6 (0n>).

 

עובדה זו נתגלתה לנו על-ידי סידורם של המספרים בטבלה בת שישה טורים. ראוי גם שנוכיח אותה הוכחה
מתמטית:

נניח ש-p הוא מספר ראשוני כלשהו, n הוא המנה כאשר מחלקים את p ב-6 ו-r היא השארית של החילוק. שארית
זו יכולה להיות אחד מהמספרים 1, 2, 3, 4 או   5.

וכעת,  6/ r + n = 6/p. אם נכפיל את שני אגפי המשוואה ב-6 ונצמצם, נקבל:

r + n6 = p

אם r יהיה אחד מהמספרים: 2, 3 או 4, אזי p יהיה מספר פריק כי:

(1+n3)2 = 2 + n6 = p

(1+n2)3 = 3 + n6 = p

(2+n3)2 = 4 + n6 = p

וזה בניגוד להנחה שלנו ש-p הוא מספר ראשוני. על כן, השארית יכולה להיות אך ורק 1 או 5.

 

אוילר טען שכל מספר ראשוני בעל הצורה 1+n6 (ולא 1-n6) אפשר לבטאו            כ- y23 + x2 =p . כך:

22 * 3 + 52 = 37                                                  12 * 3 + 22 =  7

32 * 3 + 42 =  43                                                 22 * 3 + 12 =  13

22 * 3 + 72 = 61                                                  12 * 3 + 42 =  19

12 * 3 + 82 = 67                                                  32 * 3 + 22  = 31

 

אלו עובדות נוספות נוכל לגלות אילו כתבנו את המספרים בטבלה בת ארבעה טורים? נבנה טבלה כזאת כדי
לקבל את התשובה. הפעם נסתפק ברישום 40 המספרים הראשונים:

 

-              3             2             -

-              7             -              5

-              11           -              -

-              -              -              13

-              19           -              17

-              23           -              -

-              -              -              -             

-              31           -              29

-              -              -              -

-              -              -              37

 

גם כאן מרוכזים המספרים הראשוניים (מלבד ה-2) בשני טורים: הראשון והשלישי. העובדה שחלק מהמספרים
הראשוניים מתרכז בטור הראשון אומרת שכל מספר ראשוני (מלבד ה-2) משאיר 1 בהתחלקו ל-4, ואילו העובדה
שהחלק האחר מתרכז בטור השלישי אומרת שכל מספר ראשוני (מלבד ה-2) משאיר 3 בהתחלקו ל-4 (או,
במילים אחרות, יש להוסיף לו 1 כדי שיתחלק ל-4). עובדה זו היא טריביאלית (במובן: אין בה חידוש, או היא
מובנת מאליה), כיוון שכל מספר אי-זוגי הוא כזה. יוצא שבנוסף לצורה הכללית הקודמת שצוינה, יש צורה כללית
נוספת של המספרים הראשוניים הגדולים מ-2, והיא 1
± n4 (0> n).

יש תמיד לזכור שלא כל המספרים בעלי הצורה 1± n4, וכן לא כל המספרים בעלי הצורה 1± n6 הם מספרים
ראשוניים. יעידו על כך המקומות הריקים בטורים: הראשון והשלישי בטבלה הקודמת והמקומות הריקים בטורים:
הראשון וחמישי בטבלה שלפניה.

 

נציין עוד שאפשר לתאר בדרך אחת ויחידה את המספרים הראשוניים בעלי הצורה 1+n4 כסכומם של שני
מספרים ריבועיים שהם זרים זה לזה (כלומר אין להם גורם משותף מלבד 1):

62 + 12  = 37                                        22 + 12 = 5

52  + 42 = 41                                        32 + 22 = 13

72 + 22  = 53                                        42 + 12 = 17

62 + 52  = 61                                        52 + 22 = 29

 

זו הייתה תגליתו של פרמה, שסיפר עליה במכתב ששלח למרסן בחג המולד של שנת 1640. הוא טען שם,
כהרגלו, שיש בידו הוכחה לתגליתו, אבל הוא לא סיפק אותה. אוילר היה הראשון שהוכיח אותה. היא נודעת בשם
הנחת שני הריבועים של פרמה
Fermat`s two squares theorem, או בפשטות הנחת פרמה. את המספרים
הראשוניים בעלי הצורה 1-
n4 לא ניתן לתאר כך. הוכחה? בבקשה. ראשית עלינו להסב את תשומת לב הקורא
שבצד הימני של המשוואה לעיל ישנם שני מספרים שאחד מהם הוא זוגי והשני הוא בלתי זוגי, וזה מובן מכיוון
שמדובר במספרים ראשוניים (משמאל לסימן השוויון) שכולם (חוץ מ-2) הם מספרים אי-זוגיים. כדי שהסכום של
שני מספרים יהיה מספר אי-זוגי, אחד מהשניים חייב להיות זוגי והשני חייב להיות אי-זוגי. ההעלאה בריבוע של
כל מספר אינה משנה את המצב. בשפה הפורמלית של המתמטיקה מספר זוגי מסומן ב-
2n, ומספר       אי-זוגי
מסומן ב-1 +
2n. נעלה את המספר הזוגי בריבוע ונקבל: 4n2. גם את המספר האי-זוגי נעלה בריבוע ונקבל: 1 +
4n2+4n. נחבר את שני הסכומים ונקבל: 1+ 4(2n2+n)+1 = 4n2+4n2+4n, שזהו ביטוי שצורתו גם היא4n+1 .

יתר על כן, מספרים ראשוניים בעלי הצורה 4n+1, שאת חלקם רואים למעלה בצד השמאלי של המשוואה,
נקראים מספרים ראשוניים פיתגוריים
Pythagorean primes, כיוון שכל אחד מהם מככב בשלשה פיתגורית,
כשהוא הגדול בשלשה:

 

32 + 42 =52                               82 + 152 = 172                    122 + 352  = 372

52 + 122 = 132                           202 + 212 = 292                  92 +  402  =  412

 

וכן הלאה. שלשות כאלה מוכרות על ידי תלמידי בית-הספר כאשר למדו על משפט פיתגורס. שני המספרים
הקטנים בשלָשה מייצגים את הניצבים במשולש ישר-הזווית, ואילו המספר הגדול מייצג את היתר שבו. יש אינסוף
מספרים ראשוניים פיתגוריים. על כן יש אינסוף שלשות פיתגוריות.

הסדרה הראשונה המורכבת מתשעה מספרים ראשוניים פיתגוריים עוקבים היא הסדרה: 11593, 11597,
11617, 11621, 11633, 11657, 11577, 11681 ו-11689.

 

האם שתי צורות אלה ( 4n+1ו-n-14) מתחלקות לאורך ציר המספרים שווה בשווה או שיש יתרון מספרי של צורה
אחת על אחותה?

נכתוב בשורה אחת את המספרים הראשוניים בעלי הצורה 4n+1 בתחום המאה הראשונה, ומתחתיה נרשום את
המספרים בעלי הצורה
4n-1 באותו התחום:

 

5  13  17  29  37  41  53  61  73  89  97                                                     1  4n+

3  7   11   19  23  31  43  47  59  67  71  79  83    4n-1                                     

אנו רואים שהשורה התחתונה "מנצחת במירוץ". האם זה יהיה המצב ככל שנאריך את הסדרות? אחד
המתמטיקאים יועץ לנו לא להמשיך לבדוק, כיוון שהסדרות יהיו ארוכות כל כך עד שהשורה העליונה "תשיג" את
התחתונה – וגם אז לא הוכחנו דבר, כיוון שלא נוכל להסיק על ההמשך! אנחנו בכל זאת בדקנו את המצב בתחום
ה-200 וה-300, ונוכחנו שאין מהפך באותם תחומים, ולכן, באין רצון לערוך בדיקות נוספות, אנו מעדיפים לקבל
את המלצתו של אותו מתמטיקאי. בדיעבד מסתבר שנהגנו בחכמה, כיוון שב-1957 התגלה בחיפוש ממוחשב
שרק לאחר שרשמנו 1472 איברים בכל סדרה מתחולל המהפך באיבר   ה-1473 והסדרה העליונה "תשיג" את
התחתונה. יש טוענים שבמהלך מירוץ אינסופי יהיו גם מהפכים אינסופיים. אבל כל אלה הן השערות. בתורת
המספרים יש הרבה השערות לא מוכחות!

אותם הדברים נכונים גם לגבי המספרים הראשוניים בעלי הצורות 6n+1 ו-6n-1.

לבסוף נציין שהוכח שיש אינסוף מספרים הן לצורה 4n+1 והן לצורה 4n-1.

 



נוסחאות המפיקות מספרים ראשוניים

 

העובדה שהצורות הכלליות של המספרים הראשוניים: 1± n6 ו- 1± n4 אינן הצורות של המספרים הראשוניים
בלבד, אלא גם של מספרים פריקים אחרים היא עובדה מצערת לגבי החובב והמקצוען כאחד; כי אילו היו צורות
אלו מתאימות אך ורק למספרים ראשוניים, לא היה שום קושי להבחין בין מספרים ראשוניים למספרים פריקים.
אבל כיוון שהמצב אינו כזה, כל מה שאנו יכולים לקבוע הוא אם מספר מסוים יכול להיות ראשוני, וזאת על-ידי
הבדיקה אם הוא עונה לאחת משתי הצורות הנ"ל. אם הוא אינו עונה, ברור לנו שהוא לא יכול להיות מספר
ראשוני. בעיה זו ממצה את אופיים של המספרים הראשוניים – היותם חמקמקים ולא נכנעים בקלות לנוסחאות.

 

נוסחה כללית אחת שתגלה את כל המספרים הראשוניים אין בנמצא. לעומת זה, המציאו מתמטיקאים שונים
נוסחאות שמגלות רק חלק מהמספרים הראשוניים.

קיימות כמה נוסחאות רב-אבריות (פולינומיות) כאלה, המפיקות מספרים ראשוניים אם מציבים במקום ה-x שלהם
כמה עשרות ערכים עוקבים, אבל במוקדם או מאוחר מגיעים למספרים פריקים. נוסחה מפורסמת היא נוסחתו של
אוילר:

                                                    41+x+x2

 

כאשר מציבים בהן במקום x את הערכים 0-‏39, נקבל מספרים ראשוניים:

x             41+x+x2                x             41+x+ x2                    x             41+x+x2

0             41                          26           743                        38           1523

1             43                          27           797                        39           1601

2             47                          28           853                        40           1681=412 פריק

3             53                          29           911                        41           1763=41*43 פריק

4             61                          30           971                        42           1847 שוב ראשוני

-              -                             -              -                             -              -

-              -                             -              -                             -              -

למעשה אם מציבים את המספרים 100-0 בנוסחה זו (שניתן לה השם הפולינום של אוילר) נקבל מספרים
ראשוניים ב-86 מקרים.

הנוסחה של המתמטיקאי הצרפתי אנדרייֶן לֶזַ'נְדְר (1833-1752): 41+x-x2  תיתן אותן תוצאות, אבל מוזזות צעד
אחד אחורה. כך, אם מציבים 3 (ולא 2) במקום
x, למשל, נקבל 47, ואם נציב 40 במקום x, נקבל 1601, שהוא
מספר ראשוני.

 

אם נמיר את x בנוסחה הראשונה ב-(40-x), נקבל את הנוסחה:

                                 41+(40-x)+2(40-x)=1601+x79-x2


אם נציב בנוסחה זו את המספרים 0-79, נקבל אותם מספרים ראשוניים בנוסחה הקודמת, כלומר 40 מספרים ראשוניים בלבד, שכל אחד מהם חוזר על עצמו עוד פעם אחת. אם נציב,
למשל, את המספרים 0 ו-79 במקום
x נקבל את המספר הראשוני 1601. כן נקבל אותה תוצאה, 1523, אם נציב
במקום
x את המספרים 1 ו-78.

לאחרונה נערכה באינטרנט תחרות למציאת נוסחאות רב-אבריות המפיקות מספרים ראשוניים. מאז 2005, הוגשו
חמש עשרה נוסחאות, שמהן אנו בחרנו שלוש:

 

הנוסחה                                                 מספרים ראשוניים 0-x

29+x22                                                   0‏-28

2971+x537-x243                                   0‏-34

2753+x810- n236                                0-‏45

 

 

צורות מיוחדות של מספרים ראשוניים

 

קיימות כמה צורות מיוחדות של מספרים ראשוניים. החשובים שבהם הם:
א) מספרי מרסן
ב) מספרי פרמה
ג) מספרי וילסון
ד) מספרי סופי ז'רמן

 

כמה מתכונותיהם של מספרים ראשוניים

 

·        אם p הוא מספר ראשוני ו-a הוא מספר כלשהו, אזי a-ap מתחלק ב-p (משפט פרמה הקטן). אם 5=p
ו-2=
a, אזי 25-2=30 מתחלק ב-5.

·        אם p הוא מספר ראשוני אחר מאשר 2 או 5, אזי 1/p יהיה תמיד שבר מחזורי שהמחזור שלו הוא 1-p
או אחד המחלקים שלו (ראה הפרק על שברים מחזוריים).

·        מספר p הוא מספר ראשוני אם ורק אם 1+!(1-p) מתחלק ב-p (משפט  וילסון).

·        המספר 4> n הוא מספר פריק אם ורק אם !(1-n) מתחלק ב-n. אם 8= n, אזי !7= 5040 מתחלק ל-8.
8 הוא מספר פריק. אבל אם 7=
n, אזי !6=720 אינו מתחלק ל-7, כיוון ש-7 הוא מספר ראשוני.

·        סכומם של זוג תאומים ראשונים מתחלק תמיד ב-12: 19+17=36=12*3 ; 31+29=60=12*5.

·        ההפרש בין שני מספרים ראשוניים (3p>) המועלים בחזקה שנייה מתחלק תמיד ב-24: 72-
112=72=24*3.

·        כל מספר אי-זוגי גדול מ-5 אפשר להציגו כ- p1+2p2 (p1 ו-p2 הם מספרים ראשוניים): 35=11*2 +13
; 21= 5*2 +11. משפט זה נודע בשם השערת לגרנז' על שם המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף לגרנז'. הוא
ניסח אותה בשנת 1775.

·        בין המספר n (3<n) ל-n2 יש לפחות מספר ראשוני אחד. משפט זה נודע בשם השערת ברטרן, על
שם המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף ברטרן       (1900-1822). הוא ניסח אותה בשנת 1845 והמתמטיקאי
הרוסי צ'בישייב הוכיח אותה בשנת 1850. 

·        בכל סדרה חשבונית שבה המספר הראשון וההפרש בין האיברים הם זרים זה לזה – בכל סדרה
חשבונית כזאת יש אינסוף מספרים ראשוניים (משפט דיריכּלה):...29, 26, 23, 20, 17, 14, 11, 8,
5, 2

·        סכום המספרים ההפכיים של כל המספרים הראשוניים שואף לאינסוף.

 

 

 שאלות לא פתורות

 

ישנן כמה שאלות שאין עליהן עדיין תשובה:

§        המוכרת ביותר מבין ההשערות הקשורות למספרים הראשוניים היא השערת גולדבך.
בשנת 1742 כתב המתמטיקאי הגרמני כריסטיאן גולדבך (1764-1690) איגרת לאוילר,
שבה הוא הביע את ההשערה שכל מספר הגדול מ-2 ניתן להביעו כסכומם של 3
מספרים ראשוניים. גולדבך החשיב בזמנו את המספר 1 כמספר ראשוני. כיום מנוסחת
ההשערה כך: כל מספר זוגי הגדול מ-2 ניתן לבטאו בדרך אחת או יותר כסכומם של שני
מספרים ראשוניים:
3+5=8; 3+11, 7+7=14; 3+19, 5+17, 11+11=22. ברור שככל
שהמספר גדל כן גדל מספר הדרכים לבטאם כך. המספר מאה מיליון, למשל, אפשר
לבטאו כסכום של שני מספרים ראשוניים בלמעלה מ-200 אלף דרכים.
לגבי מספרים "קטנים" יחסית, אין בעיה לאמת את ההשערה באופן ישיר – על ידי ניסויים
מספריים. ואכן עוד בשנת 1938אימת אותה אחד המתמטיקאים עד ל-100 אלף. עם
השימוש במחשבים מתוחכמים בימינו אומתה ההשערה עד למספר בן 22 ספרות.
ובכל זאת עדיין מחכה ההשערה ליהפך
למשפט מתמטי מוכח. עד כה עלו כל המאמצים
בתוהו, וכל מה שנותר הוא לחכות לגאון התורן שיוכיח אותה.

§       לא ברור אם תמיד יש מספר ראשוני בין מספר ריבועי אחד למספר הריבועי העוקב     
 שלו. בניסוח מתמטי: האם תמיד יש
מספר ראשוני בין n2 לבין (n+1)2?

§      לא ידוע אם קיימות אינסוף קבוצות של 5 מספרים אי-זוגיים עוקבים שרק אחד מהם
פריק והשאר ראשוניים: 3, 5, 7, 9, 11 ; 5, 7, 9, 11, 13 ; 101, 103, 105, 107,
109 ; 191, 193, 195, 197, 199.

§        השערה שכל מספר זוגי אפשר לבטאו כהפרש בין שני מספרים ראשוניים עוקבים
באינסוף אפשרויות (למשל,
6=29-23=37-31=59-53=67-61) לא הוכחה מעולם וגם
לא נדחתה. זו השערתו של המתמטיקאי הצרפתי אלפונס דה פוליניאק (1890-1817)
שניסח אותה בשנת 1849. משתמע מהשערה זו שיש אינסוף מספרים תאומים, שגם
היא השערה שלא הוכחה. לקטגוריה זו שייכים המספרים הדודנים והסקסיים, שהגדרנו
והדגמנו בסעיף קודם.



 

מספרים כמעט ראשוניים
K-Almost Primes

מספר כמעט ראשוני מסדר k הוא מספר ראשוני שלו בדיוק k מחלקים ראשוניים (שווים או שונים) לא כולל 1.
מעצם ההגדרה יוצא כי כל מספר ראשוני הוא מספר כמעט ראשוני מסדר 1.
המספרים הכמעט-ראשוניים מסדר 2 הם למעשה המספרים הראשוניים למחצה.
המספר הכמעט ראשוני הקטן ביותר מסדר
k הוא 2k. למשל: עבור k=8, 28=256. למספר 256
יש בדיוק 8 מחלקים ראשוניים (שווים- כולם 2). יתר מחלקיו הם מספרים פריקים.
ההגדרה מאפשרת ליצור מספרים כמעט ראשוניים מכל סדר שנחפוץ בו.
למשל, מספר כמעט ראשוני מסדר 4:  
     2*3*11*13 = 858.
למשל, מספר כמעט ראשוני מסדר 5:   
2*3*3*11*13 = 2574.


 

מספרים בין-ראשוניים
Interprimes

מספר בין-ראשוני הוא ממוצע של שני מספרים ראשוניים אי-זוגיים עוקבים.
סדרת המספרים הבין-ראשוניים:
4, 6, 9, 12, 15, 18...

מספר בין-ראשוני אינו יכול להיות ראשוני, מכיוון שאז הוא יחצוץ בין שני המספרים העוקבים
בסתירה להגדרה.

 

מספרים פסאודו-ראשוניים
Pseudoprime Numbers

נקראים גם מספרי סרוס או מספרי פולה.
מספר פסאודו-ראשוני הוא מספר פריק ש'מתחזה' למספר ראשוני מעצם העובדה שהוא
מקיים את חלקה הראשון של ההשערה הסינית.
הדרך לגלות את התחזותם של המספרים הפסאודו-ראשוניים היא לנסות 'להכשיל' אותם ע"י מבחן פרמה
עבור בסיס הגדול מ-2. למשל,המספר 341 שהוא מספר מסוג זה, מחלק את
2341-2,
אבל עבור בסיס 11, אינו מחלק את
11341-11. מסיבה זאת, 341 אינו  מספר קרמייקל.
מהם מספרי קרמייקל? אלו הם המספרים שעוברים את מבחן פרמה לכל בסיס
a (הזר ל-p),
ולכן הם נקראים גם מספרים פסאודו-ראשוניים מוחלטים.

סדרת המספרים הפסאודו-ראשוניים:
341,561,645,1105….

ההשערה הסינית
ראוי לעמוד על שיקול דעתם האפשרית של אנשים בפתירת בעיה עתיקת יומין שהעסיקה מתמטיקאים סינים לפני כ-2500 שנה. ננסח את הבעיה כך: מה צריך להיות טיבו של
n כדי שיחלק את הביטויn -2   2? נניח שבחרנו להציב את המספר 7 במקום n, התוצאה תהיה 126=2-‏27, ומספר זה מתחלק ל-7. אם נציב 5 במקום n, נקבל את המספר 30, שמתחלק ל-5, ואם נציב 11, נקבל 2046, שמתחלק ב-11. כעת, נציב במקום n את המספרים: 4, 6 ו-8. המספרים שיתקבלו לא יתחלקו במספרים אלה. לאור תוצאות אלה נוכל אולי להגיע למסקנה שאם נציב במקום n מספרים אי-זוגיים הביטוי יהיה בר-חלוקה, ואם נציב מספרים זוגיים הוא לא יהיה כן. כעת, כדי להיות בטוח בנכונות המסקנה נציב במקום n את המספר 9, והנה להפתעתנו המספר 510 אינו מתחלק ב-9. גם המספר 32766 אינו מתחלק ב-15 במקרה שנציב 15 במקום n. כאן נצטרך לעיין מחדש בנתונים שבידנו: הכלל מתקיים אם מציבים במקום n את המספרים 2, 5, 7, ו-11, אבל הוא לא מתקיים אם נציב את המספרים: 4, 6, 8, 9, ו-15. כעת המסקנה נראית ברורה: הכלל מתקיים אך ורק אם n הוא מספר ראשוני. אם יהיה לנו זמן ונהיה מאוד סקרנים, נציב למשל את המספרים לפי הסדר מ-16 עד 25, ואז ניווכח שהכלל אכן מתקיים לגבי המספרים 17, 19 ו-23 ואינו מתקיים לגבי שאר המספרים, שהם פריקים כולם.

ואכן כך חשבו המתמטיקאים הסינים מלפני דורות רבים. הם שיערו ש-2-p2 יתחלק תמיד ב-p, אם p הוא מספר ראשוני, אבל אם p הוא מספר פריק אזי הוא לא יתחלק בו לעולם! בפועל, הכלל נכון כאשר 340 p≤, אבל הוא גם נכון לגבי 341=p, שהוא מספר פריק: 341=11*31. וכך נמצאה ההשערה הסינית (כך היא נודעת בספרי המתמטיקה Chinese hypothesis) נכונה רק לגבי החלק הראשון שלה, ולא נכונה לגבי החלק השני. זה נתגלה בשנת 1819 על ידי המתמטיקאי הצרפתי פייר סַרוס Sarrus (1861-1798). כיום אפשר להבין את טעותם של הסינים: המספר 341 הוא המספר הפריק הקטן ביותר שהחלק השני של הכלל מדבר בו. באמצעים שהיו להם אז קשה היה להם לחשב את המספר 2341, שהוא מספר עצום בגודלו. מסתבר שמספר זה התנהג כאילו היה מספר ראשוני, הוא "התחזה" למספר ראשוני בכך שהוא קיים את הנוסחה הנ"ל על אף העובדה שהוא מספר פריק, ולכן הוא כונה על-ידי מתמטיקאים של ימינו בשם מספר פסאודו-ראשוני. כמאה שנים לאחר מכן, בשנת 1926, פרסם המתמטיקאי פול פּוּלֶה Poulet טבלה של מספרים פסאודו ראשוניים כאלה (נזכור! מדובר רק על בסיס 2) בתחום 50 מיליון המספרים הראשונים, ובשנת 1938 הוא שכלל את הטבלה לתחום מאה מיליון. על כן קוראים המתמטיקאים כיום למספרים אלה בשם מספרי סַרוס או מספרי פולה. מספרים אלה הם נדירים למדיי. בתוך האלף הראשון יש 3 מספרים כאלה (341, 561 ו-645 ראה טבלה בסעיף מספרי קרמייקל) בהשוואה ל-168 מספרים ראשוניים הקיימים בתחום זה; ובתחום המיליון הראשון יש 245 מספרים כאלה בעוד שבתחום זה יש 78,498 מספרים ראשוניים.

בהקשר זה, קיימים גם מספרים הנקראים מספרי סופר-פולה. מספר מסוג זה הוא למעשה מספר פולה
שכל אחד ממחלקיו,
d, מחלק את הביטוי  2d-2. למשל, 341 הוא מספר מסוג סופר-פולה משום
שמחלקיו: 1, 11, 31, 341, מחלקים את הביטויים
21-2 , 211-2, 231-2, 2341-2  בהתאמה.

המספר 561 הוא מספר פולה, אך אינו מספר סופר פולה, משום שאחד ממחלקיו, 33, אינו מחלק את
הביטוי
233-2.
סדרת מספרי סופר-פולה: 
341, 1387, 2047, 2701, 3277...

להמשך הדיון ר' מספרי קרמייקל.

 

מספרים ראשוניים בין הראשוניים
Primes Between Primes


מספר ראשוני בין הראשוניים הוא מספר ראשוני שאם מוחקים את ספרת האחדות שלו,
המספר החדש המתקבל גם הוא מספר ראשוני, וכך התהליך חוזר על עצמו עד לקבלת
מספר ראשוני בעל ספרה אחת בלבד.
מספר ראשוני בין ראשוניים לדוגמה: 317. נמחק את 7 ונקבל את 31. נמחק את 1 ונקבל את 3. שלושתם מספרים ראשוניים.
המספר 173, למשל, אינו שייך לקבוצה זו משום שלאחר 2 מחיקות של ספרת האחדות, נותר המספר 1 שהוא אינו ראשוני.

 

מספרים ראשוניים למחצה
Semiprime Numbers

מספר ראשוני למחצה הוא מספר בעל  שני מחלקים ראשוניים בלבד (שונים או זהים) לא כולל 1.
מספר ראשוני למחצה הוא למעשה מספר מכפלתי משוכלל.
מספרים ראשוניים למחצה לדוגמה:
9, 33, 141.
למספר 9 ישנם שני מחלקים ראשוניים זהים:   32=9.
מחלקיו של 33 הם 3 ו-11, ואלו הם מספרים ראשוניים.
מחלקיו של 141 הם 3 ו-47, ואלו הם מספרים ראשוניים.
ר' מספרים פסאודו ראשוניים

 

מספרים ראשוניים
מסוג סופי ז’רמן

Sophie Germain Prime Numbers

המספר הראשוני
שנקרא על שמה הוא מספר p שאם מכפילים אותו בשתיים ומוסיפים 1 (1+p2) התוצאה תהיה גם היא מספר ראשוני. 23 הוא מספר ראשוני מסוג סופי ז'רמן כיוון ש 47=1+ 23*2, גם הוא מספר ראשוני. לעומתו, המספר 13 אינו כזה, כיוון ש-27=1+ 13*2 אינו מספר ראשוני. עשרת המספרים הראשוניים הבאים בתחום המאה הראשונה: 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89 הם מספרי סופי ז'רמן. יש הסבורים שקיימים אינסוף מספרים כאלה, אבל אין הוכחה לכך עדיין.

סופי ז'רמן (1776-‏1831) הייתה מתמטיקאית צרפתייה מחוננת שעסקה בעיקר בחקר האקוסטיקה והאלסטיות של חומרים. חלק ממחקריה היא הקדישה גם לתורת המספרים, ובמסגרתה - למשפט האחרון של פרמה (ראה עמ'   ). היא קיימה קשרי מכתבים עם המתמטיקאים לגראנז' וגאוס בזהות שאולה. זה האחרון העריך את כישרונה והמליץ עליה ללמוד לתואר דוקטור באוניברסיטת גטינגן.

 

לגבי המשפט האחרון של פרמה היא הראתה בשנת 1825 שהמשפט כנראה נכון אם ה-n במשוואה המוכרת zn=yn+xn הוא מספר ראשוני מסוג מספרי ז'רמן או כפולותיו. במילה "כנראה" היא מרמזת שאם קיים פתרון למשוואה, כי אז אחד מהערכים: x, y ו-z חייב להתחלק ב-n כזה. תובנה זו עזרה מאוחר יותר בהוכחת נכונותו של המשפט כאשר 5=n. 5 הוא, כפי שמראה הסדרה לעיל, הוא מספר ראשוני מסוג סופי ז'רמן.

 

 

 

מספרים ראשוניים תאומים
Twin Prime Numbers


זוג מספרים ראשוניים נקראים מספרים ראשוניים תאומים אם ההפרש ביניהם הוא 2.
זוגות מספרים ראשוניים תאומים לדוגמה: 5 ו-7, 101 ו-103.

עבור זוג מספרים ראשוניים תאומים, סכום המחלקים של המספר הגדול, גדול ב-2 מסכום המחלקים של הקטן.
השערת המספרים התאומים הראשוניים גורסת כי ישנם אינסוף זוגות של מספרים ראשוניים תאומים, אבל אין
עדיין הוכחה לכך.

מספרים רציונליים
Rational Numbers

מספרים אשר ניתן להציגם כמנה של מספרים שלמים.

מספרים שליליים
Negative Numbers

מספר שלילי הוא מספר הקטן מאפס.

מספרים שלמים אלגבריים
Algebraic integer Numbers

מספר שלם אלגברי הוא מספר מרוכב שהוא שורש של פולינום מתוקן בעל מקדמים שלמים.
פולינום מתוקן הוא פולינום שבו 1 הוא המקדם של האיבר בעל החזקה המקסימלית.

מספרים שלמים
Integer Numbers

מספרים חיוביים ומספרים שליליים כולל המספר אפס.

מספרים שמורים
Presrved Numbers

מספר שמור הוא מספר שאם מחברים את החזקות ה-n-יות של ספרותיו בתהליך חוזר, הרי שבסיומו
של התהליך נקבל את המספר עצמו.

מספרים שמור לדוגמה: 2178, 55, 936.
55 הוא מספר שמור מסדר שלוש: 
  55=53+53=250=23+53+03=133=13+33+33=55
התהליך הנ"ל מצביע על כך שגם 133 ו-250 הם מספרים שמורים מסדר 3.
2178 הוא מספר שמור מסדר ארבע.

מספרי שרדר
Schröder  Numbers

מספר שרדר הוא מספר טבעי המייצג את מספר המסלולים האפשריים לעבור בסריג/רשת מלבניים, מהפינה
הדרום-מערבית לעבר הפינה הצפון-מזרחית, כאשר מותר לנוע בצעדים בודדים צפונה, מזרחה,
או בכיוון צפון-מזרח על האלכסון. המגבלה היחידה, בניגוד למספרי דלאנוי, היא שלאף מסלול
אסור לכלול קו הנמצא ממש מעל האלכסון העובר מדרום-מערב לצפון-מזרח.
אם נתאר זאת על ציר המספרים, הפינה הדרום-מערבית, נקודת ההתחלה,  מיוצגת ע"י הזוג
הסדור (
0,0), והפינה הצפון-מזרחית, נקודת היעד, מיוצגת ע"י הזוג הסדור (m,n).

מעצם מגבלת האלכסון בהגדרה, הרי שעבור אותו סריג, מספר שרדר תמיד יהיה קטן ממספר דלאוני
סדרת מספרי דלאנוי:
1, 2, 6, 22, 90, 324...


מבחינה גרפית, סריג (2,2) מורכב מ-9 נקודות מפגש, שנסמנן משמאל לימין ומלמטה למעלה
באותיות
A עד I, כאשר A היא נקודת ההתחלה והאות I היא נקודת היעד. לפיכך, 6 המסלולים
האפשריים הם:
AEI, AEFI, ABEI, ABFI, ABEFI, ABCFI

ר' מספרי דלאנוי.

מספרי Lah
Lah  Numbers

מספרי Lah  מייצגים את מספר החלוקות של קבוצה בת n איברים ל-k
תתי קבוצות לא ריקות, כך שיש חשיבות לסדר האיברים בכל תת קבוצה (בניגוד למספרי סטירלינג מסוג שני).

הנוסחה למציאת מספרים אלו נתונה ע"י מקדמים בינומיים.

ניסוח שקול: מספר סטירלינג מסוג שני מייצג את מספר האפשרויות לפזר
 k כדורים שונים לתוך
n תאים זהים, כך שבכל תא ישנו לפחות כדור אחד (יש חשיבות, כאמור, לסדר הכדורים בתוך התא).

הדגמת מספרי
Lah - נניח שנתונה קבוצה בת 4 איברים:  {a,b,c,d}  אזי

מספר האפשרויות לחלק קבוצה בת 4 איברים לשלוש תתי-קבוצות לא ריקות ע"פ הגדרת
מספרי סטירלינג מסוג שני הוא 6:

S(4,3)={{{a},{b},{c,d}}, {{a},{c},{b,d}},{{a},{d},{b,c}},{{b},{c},{a,d}},{{b},{d},{a,c}},{{c},{d},{a,b}}}

במקרה שלנו לחישוב מספרי
Lah, ישנה חשיבות לסיגור האיברים בכל תת-קבוצה, ולכן עלינו להוסיף
את ששת המקרים הבאים:
{{{a},{b},{d,c}}, {{a},{c},{d,b}},{{a},{d},{c,b}},{{b},{c},{d,a}},{{b},{d},{c,a}},{{c},{d},{b,a}}}


בסה"כ קיבלנו
L(4,3)= S(4,3)+6=6+6=12
זהויות עבור
המספרים מסוג זה: 

L(n,1)=n!
L(n,n)=1

מספרי Fortunate
Fortunate Numbers

מספר Fortunate הוא המספר הטבעי הקטן ביותר, m, ארש יביא לכך שהמספר מהצורה ( p*+m  )
יהיה ראשוני, כאשר המספר  *
p הוא מכפלת כל המספרים הראשוניים הקטנים או שווים למספר p.
סדרת המספרים היא:
3, 5, 7, 13, 23, 17, 19, 23, 27...
הסדרה אינה בהכרח עולה ומכילה כפילויות בערכים.
נדגים את מציאת המספר החמישי מסוג זה:
 p*=2*3*5*7*11=2310.
כעת, משיקולי זוגיות, הוספת מספר זוגי למספר 2310 תתן מספר זוגי, ולכן נחל בהוספת
מספרים אי-זוגיים:
3, 5, 7, ... עד לקבלת מספר ראשוני. נמצא כי רק כאשר נוסיף

23 נקבל מספר ראושני, 2333, ולכן 23 הוא המספר החמישי בסדרת המספרים מסוג זה.

מספרי Narayana
Narayana Numbers

מספר Narayana הוא מספר טבעי, N(n,k) שנוסחתו ניתנת באמצעות מקדמים בינומיים.
מספר זה משמש לפתרון בעיות ספירה קומבינטוריות מסוגים שונים.
דוגמה:
המספר
N(n,k) מייצג בין היתר את מספר הביטויים המכילים n זוגות סוגריים, כאשר קיימים
ביניהם
k מקרים בהם הסוגר הפותח השמאלי ) מופיע בצמידות לסוגר המסיים הימני (.
זהויות יסוד:
N(n,n)=1
N(n,1)=1
.

למשל: 
N(3,3)=1 משום שקיים ייצוג אחד עבור 4 זוגות סוגריים:  ()()()
דוגמה נוספת:  N(3,1)=1 משום שקיים ייצוג אחד עבור 3 זוגות סוגריים:  ((()))

עבור מספרים מסוג זה מתקיימת הזהות הסימטרית:  N(n,k)=N(n, n-k+1).
דוגמה:
N(5,2)=N(5,4)=10
ר' מספרי בל, מספרי סטירלינג מסןג שני, מספרי קטלן, מספרי דלאנוי, מספרי מוצקין.

GCD  - המחלק המשותף המקסימלי
Greatest Common Divisor

נקרא גם המחלק המשותף הגבוה ביותר (ממג"ב).
מספר שלם נקרא מחלק משותף מקסימלי של שני מספרים או יותר, אם הוא המספר הגדול ביותר
שמחלק את שניהם ללא שארית. דוגמה: 12, הוא מחלק משותף מקסימלי של 36 ו-48.

עבור כל שני מספרים זרים או יותר, המחלק המשותף המקסימלי הוא 1.  כלומר,
אם
x  ו- y מספרים זרים, אז LCM(x,y)=1. במילים אחרות, ל-x ו-y אין מחלקים משותפים.
זהויות:

  GCD(x,1)=1
  GCD(x,x)=x
  GCD(x,0)=x

מתקיים השוויון הבא:   LCM(x,y)*GCD(x,y)=xy

המחלק המשותף המקסימלי של שני מספרי פיבונאצ'י הוא גם מספר פיבונאצ'י:
GCD(Fn, Fm)=Fk

ר' מספר משוכלל יחידתי.

LCM  - הכפולה המשותפת הקטנה ביותר
Least Common Multiple

מספר שלם הוא המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של שני מספרים או יותר, אם הוא מתחלק במספרים
ללא שארית. דוגמה: 20 הוא המכפלה המשותפת הקטנה ביותר, קרי המכנה המשותף של 4 ו-5.
12 הוא המכפלה המשותפת הקטנה ביותר, קרי המכנה המשותף של 4 ו-6.

עבור כל שני מספרים זרים או יותר, המכפלה המשותפת הקטנה ביותר היא מכפלת המספרים עצמם.
אם
x  ו- y מספרים זרים, אז LCM(x,y)=xy
זהויות:

  LCM(x,1)=x
  LCM(x,x)=x
  LCM(x,0)=0 (אין משמעות לזהות זו כאשר מחפשים מכנה משותף לפתרון תרגילי שברים).
 
מתקיים השוויון הבא:  
LCM(x,y)*GCD(x,y)=xy
דוגמה :
LCD(12,18)*GCD(12,18)=36*6=216

להוסיף דוגמה בעמוד 255 במתמטיקה בהנאה.

המספר ומחלקיו
Number’s Divisors

מחלקיו של מספר נתון הם כל המספרים אשר מספר זה יכול להתחלק בהם (ללא שארית). כך, המחלקים של המספר 12 הם: 1, 2, 3, 4, 6 ו-12, והמחלקים של המספר 7 הם 1 ו-7.

לכל מספר טבעי הגדול מ-1 יש לפחות שני מחלקים, אולם לרוב המספרים יש יותר משני מחלקים. מספר המחלקים של מספר יכול להעמיד אותנו על כמה תכונות שלו, כפי שיבואר להלן.

 

לפעמים לוקחים בחשבון מספר המחלקים את המספר עצמו ואז מדברים על מספר מחלקים מלא, proper divisers. לפעמים מתעלמים מהמספר עצמו ואז מדברים על מספר מחלקים חסר aliquot parts. במרבית המקרים, כשמדברים על מספר המחלקים של מספר מתכוונים למספר מחלקים חסר, גם אם לא מציינים זאת במפורש. גם אנו ננהג כך, אלא אם נציין במיוחד שמדובר במספר מחלקים מלא.

 

המתמטיקאי היווני ניקומכוס (60?-100?) מגֶרֶש (בעבר הירדן) בספרו מבוא לאריתטיקה חילק את כל המספרים הטבעיים לשלוש קטגוריות באשר לסכום המחלקים שלהם:

 מספרים יתרים

 מספרים חסרים
 מספרים משוכללים

 על המיון  הבסיסי הזה נוסיף את הקטגוריות הבאות:

 מספרים כמעט-משוכללים
 מספרים משוכללים-למחצה
 מספרים רב-משוכללים

 

מספר המחלקים

שאלה מעניינת היא: נוכל לדעת מהו מספר המחלקים המלא של מספר מסוים מבלי שנצטרך לפרטם אחד לאחד?

כדי לענות על שאלה זו, ננקוט תחילה בדרך ניסיונית-אינדוקטיבית ואחר כך ננסה להסיק את הכלל על פי הממצאים. נניח שהיינו בודקים את מספר המחלקים המלא של כל אחד מהמספרים 1 עד 100, ואחר כך ממיינים אותם לפי קריטריון זה, כי אז היינו מקבלים את הטבלה הבאה:

 

המספרים 100-1 ממוינים לפי מספר מחלקיהם

1 (p0)  - 1

2 (p1) – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73
             79, 83, 89, 97

3 (p2) – 4, 9, 25, 49

4 (p3; pn) – 6, 8, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 27, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58,
                   62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95

5 (p4) – 16, 81

6 (p5 ; p2n) – 12, 18, 20, 28, 32, 44, 45, 50, 52, 63, 68, 75, 76, 92, 98, 99

7 (p6) – 64

8 (p3n; pnm) – 24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 88

9 (p2n2) – 36, 100

10 (p4n) – 48, 80

12 (p5n; p3n2; p2nm) – 60, 72, 84, 90, 96

 

המספר המעובה בראש השורה מצביע על מספר המחלקים המלא של המספרים בכל קטגוריה, והאותיות בתוך הסוגריים מצביעות על הצורה הכללית של המספרים באותה שורה, כאשר p, n ו-m הם מספרים ראשוניים שונים.

אף כי מדַברת הטבלה בעד עצמה, נעיר בכל זאת כמה הערות על כמה פרטים בה:

§        בשורה השנייה רשומים כל המספרים שיש להם אך ורק שני מחלקים. אלה הם 25 המספרים הראשוניים שבתחום המאה הראשונה.

§        בשורה השלישית יש 4 מספרים שלכל אחד מהם יש 3 מחלקים. אלה הם מספרים ריבועיים. בשורה זו מופיעים המספרים הריבועיים של מספרים ראשוניים, להם יש תמיד 3 מחלקים. לא כן מספרים ריבועיים פריקים שיש להם יותר משלושה מחלקים, אבל לעולם מספר אי-זוגי של מחלקים. כך הם המספרים (בסוגריים מספר המחלקים): 16(5), 36(9), 64(7), 81(5), 100(9). בטבלה הם מופיעים כמספרים מקווקווים.

§        תת-קטגוריה של המספרים הריבועיים הם המספרים הראשוניים שהועלו בחזקה 4: 16 (24)  ו-81 (34). לאלה יש תמיד 5 מחלקים. הם מופיעים בשורה החמישית. מספר נוסף כזה הוא 625 (54).

§        למספרים ראשוניים בחזקה שלישית יש לעולם 4 מחלקים. אלה הם המספרים 8 (23) ו-27 (33). הם מופיעים בשורה הרביעית, מודגשים ונטויים. מספרים נוספים כאלה: 125 (53), 343 (73) ו-1331 (113).

§        שאר המספרים בשורה הרביעית הם מספרים פריקים שהם מכפלה של שני גורמים ראשוניים. גם להם לעולם יהיו 4 מחלקים. מספרים נוספים כאלה הם: 115 (23*5), 119 (17*7), 133 (19*7), 145 (29*5) ועוד.

§        מספרים ראשוניים בחזקה 6 יהיו להם לעולם 7 מחלקים. בתחום המאה יש רק מספר אחד כזה והוא 64‏ (26). ראוי לשים לב שמספר זה הוא בעת ובעונה אחת גם מספר ריבועי וגם מספר מעוקב 64=82=43.

§        למספרים שיש להם 8 מחלקים יכולות להיות 3 צורות שונות: א) הצורה (pnm) - מכפלה של 3 מספרים ראשוניים: 30 (5*3*2), 42 (7*3*2), 66, 70, 78, 102, 105, 110 ... ב) הצורה (p3n): 24 (3*23), 40 (5*23), 54 ו-56            ג) הצורה (p7) שמדגים אותה המספר 128 (27), למשל. מספר זה אינו מופיע בטבלה, כי הוא חורג מגבול ה-100.

§        מספרים שיש להם 9 מחלקים הם מכפלה של שני מספרים ראשוניים שכל אחד מהם מועלה בחזקה שנייה. צורתם תהיה אפוא p2n2 ומדגימים אותם בטבלה המספרים 36 ו-100. מספרים כאלה שחורגים מתחום הטבלה הם המספרים הראשוניים המועלים בחזקה שמינית, למשל המספר 256 (28).      

§        אנו רואים שבטבלה חסרה השורה ה-11. זה אומר שבתחום המאה אין מספר שיש לו 11 מחלקים. מחוץ לטבלה יש מספר אינסופי של מספרים כאלה. אחד מהם יכול להיות 1024 (210).

§        שורה 12 כוללת 3 צורות של מספרים: א) הצורה (p2nm) שאותה מדגים המספר 60, שגורמיו הם 3*5*22 ומחלקיו הם: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ו-60 – ס"ה 12 מחלקים. ב) הצורה (p3n2) שאותה מדגים המספר 72 (32*23), שגם לו יש 12 מחלקים. ג) הצורה (p5n) שאותה מדגים המספר 96 (3*25), שגם לו יש 12 מחלקים. צורתם של המספרים 84 ו-90 כצורתו של המספר 60.

 

אחרי הערות אלה נגיע לשלב ההכללות: אנו מבחינים שבשורות 1, 2, 3, 5 ו-7 מספר המחלקים שווה לחזקה +1. בשאר השורות אנו רואים שמספר המחלקים שווה למכפלת החזקות של הגורמים הראשוניים המרכיבים את המספר - לאחר שהוספנו 1 לכל חזקה.  בשורה השמינית, למשל, מספר המחלקים הוא (3+1) (1+1)=8 או (1+1) (1+1) (1+1)=8. דוגמה נוספת: למספר 666=371*32*21 יש (1+1)*(2+1)*(1+1)=12 מחלקים והם: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 37, 74, 111, 222, 333      ו-666.

זה מוביל אותנו לנוסחה הכללית:
מספר המחלקים של מספר הוא מכפלה של מעריכי החזקות של גורמיו הראשוניים לאחר שהוספנו 1 לכל חזקה.   
בניסוח אחר: מספר
N שצורתו הכללית, למשל, היא P2m * P1n, מספר מחלקיו יהיה (m+1)*(n+1), כאשר
P1 ו-P2 הם הגורמים הראשוניים השונים של אותו מספר. הנוסחה כמובן תקפה כאשר יש למספר יותר משני   גורמים ראשוניים:  P1, P2, P3, P4 ….. מספר המורכב ממספר ראשוני אחד המועלה בחזקה, מוסיפים פשוט 1 לחזקה ומקבלים את מספר מחלקיו.

  

מכאן, לשאלה ההפוכה המתבקשת: מהו המספר, אם אנו יודעים שיש לו 14 מחלקים, למשל? כדי לפתור בעיה זו עלינו ללכת בדרך הפוכה מזו שבה הלכנו בבואנו לפתור את השאלה הקודמת. נשקול את צעדינו, למשל, בדרך זו: המספר 14 הוא המכפלה של מעריכי החזקות של הגורמים הראשוניים שלהם מתפרק המספר וזה לאחר שהוספנו 1 לכל חזקה. הגורמים של מספר זה יכולים להיות 2  ו-7, ומכל אחד משני המעריכים האלה נפחית 1 ונקבל 1 ו-6, שיהיו מעריכי החזקות של מספרים ראשוניים ככל שנבחר. המספר יכול להיות, למשל, 320=51*26 או 5,103=71*36, או כל מספר אחר שצורתו תהיה p6q, כאשר p ו-q הם הגורמים הראשוניים שלו. אבל הגורמים של 14 יכולים להיות גם 1 ו-14 ואז צורתו הכללית של המספר תהיהp13*q0   ואחד המספרים בעלי צורה זו יכול להיות 8192=213. המסקנה מכל הדיון הזה היא שאין תשובה חד-משמעית לשאלה שהעמדנו, ולמעשה יש אינסוף מספרים היכולים לענות נכונה על שאלה זו. אם כן, ראוי לנסח את השאלה כך: מהו המספר הקטן ביותר שיש לו 14 מחלקים? לכאורה, התשובה לא מסובכת כלל: בהנחה שבחרנו את הגורמים 2 ו-7 למספר 14, נציב בצורה הכללית p6q את המספר הראשוני הקטן ביותר במקום p, שהוא בעל החזקה הגדולה  מבין השניים, וזה המספר 2, ובמקום q נציב את המספר הראשוני הבא, שהוא 3. במקרה שלנו התשובה תהיה 192=31*26.

כעת נראה לנו שעלינו על דרך המלך ועלינו על הפתרון הסביר והנכון לגבי המספר 14. אולם פתרון זה, שמסתמך על שני ניסיונות ובחירת הפתרון המתאים ביותר מביניהם, יהיה מסובך יותר אם אפשרויות הבחירה גדלות יותר. ננסה לפתור, למשל, את השאלה הבאה:  מהו המספר הקטן ביותר שיש לו 12 מחלקים? המספר 12 מתפרק ל-6*2, ולכן מעריכי החזקות יהיו 1 ו-5, והמספר יהיה 3*25 =96. אבל 12 מתפרק גם 4*3, ולכן מעריכי החזקות יהיו 2 ו-3, והמספר יהיה 32*23=72. אבל אנו יודעים כבר מהטבלה שהמספר 60 הוא המספר הקטן ביותר שיש לו 12 מחלקים. ובכן, כיצד נגיע לתשובה האחת והיחידה לשאלה זו? התשובה היא שיש לפרק את המספר 12 לגורמיו הראשוניים ולרשום כל גורם בנפרד: 3*2*2. המעריכים יהיו, אפוא,  1, 1, 2  והמספר יהיה 60=51*31*22.

יש בידינו, לכאורה, אלגוריתם חד-משמעי לבעיה זו, האומר: פָרק את מספר המחלקים לגורמיו הראשוניים ורשום כל גורם בנפרד, חסר 1 מכל גורם, והמספרים שיתקבלו ישמשו כמעריכי החזקות של המספרים הראשוניים של המספר המבוקש לפי הסדר החל במספר הראשוני הקטן ביותר: 2 ,3 , 5, 7 וכן הלאה – כפי שהודגם על המספר 60.

ניסוח זה של האלגוריתם נראה הגיוני ומשכנע, והוא יכול לענות על השאלה: מהו המספר הקטן ביותר שיש לו 100 מחלקים, למשל? נפרק את המספר 100 לגורמיו הראשוניים שהם: 5*5*2*2=100. נחסר 1 מכל אחד מגורמים אלה כדי שישמשו מעריכים למספרים הראשוניים לפי הסדר החל במספר 2, נעלה מספר זה בחזקה 4, אחריו נעלה גם מספר 3 בחזקה 4, ואחריהם נעלה את המספרים 5 ו-7 כל אחד בחזקה 1 ונקבל את המספר 45,360=71*51*34*24, שהוא המספר המבוקש שיש לו 100 מחלקים. אפשרות זו תואמת את האלגוריתם שניסחנו לעיל.

אבל מסתבר שהעניין אינו פשוט כפי שהוא נראה! ננסה, למשל, לענות על השאלה הבאה: מהו המספר הקטן ביותר שיש לו 96 מחלקים? נפרק את המספר 96 לפי האלגוריתם שהצענו ונקבל 96=2*2*2*2*2*3. והמספר שנקבל יהיה 60,060=131*111*71*51*31*22. והנה למרבית ההפתעה דווקא המספר 27,720=11*7*5*32*23 הוא התשובה הנכונה במקרה זה. תשובה זו נשענת על פירוק המספר 96 דווקא ל-2*2*2*3*4.

מסקנה:  לא אלגוריתם חד-משמעי יש לנו, אלא כיוון כללי שמצמצם אפשרויות, אבל מחייב בדיקות והשוואות!

 

סכום המחלקים

הנוסחה למציאת סכום המחלקים של מספר היא מסובכת יותר. נדגים אותה בשאלה: מהו סכום המחלקים המלא של המספר 360, למשל? כדי לענות על שאלה זו נצטרך לנקוט בצעדים הבאים:

1)      נפרק את המספר לגורמיו הראשוניים: 23*32*51=360

2)      אם החזקה של אחד הגורמים היא 1, נוסף את ה-1 לגורם: 5+1=6

3)      אם החזקה של הגורם יותר מ-1 נשתמש בנוסחה הבאה:

4)      (pe+1-1)/n-1, כאשר p הוא אחד הגורמים הראשוניים של המספר ו-e היא החזקה שלו. במקר שלנו:    (23+1-1)/2-1=15     ו- (32+1-1)/3-1=13

       5)  נכפיל את התוצאות ונקבל: 6*13*15=1170

ואכן סכום מחלקיו של המספר 360 הוא:     1+2+3+4+5+6+8+9+10+12+15+18+20+24+30+36+40+45+60+72+90+ 120+180+360=1,170.

דוגמה שנייה. כדי למצוא את סכום המחלקים של המספר 45 נפרק אותו לגורמים ונקבל: 32*51=45. נחשב את כל הצעדים ונציג אותם בביטוי אחד:

[(32+1-1)/3-1]*(5+1) =13*6= 78. ואכן סכום המחלקים של 45 הוא

45+15+9+5+3+1= 78

 

הבעיה של סכום המחלקים של מספר הציבה כמה אתגרים בפני מתמטיקאים שחייבו אותם לחפש להם פתרונות. אחד האתגרים הוא למצוא מספרים שסכום מחלקיהם המלא (כולל המספר עצמו) הוא מספר ריבועי. המספר הקטן ביותר שעונה לאתגר זה הוא 3, שמחלקיו הם 22=3+1. מספר אחר הוא 22, שסכום מחלקיו הוא 62=36=22+11+2+1. מספרים נוספים הם: 66 שסכום מחלקיו הוא 122=144; 70 שסכום מחלקיו גם הם 122=144 או 81 שסכום מחלקיו הוא 112=121. ויש עוד הרבה מספרים כאלה.

אתגר נוסף הוא למצוא מספר ריבועי שסכום מחלקיו (כולל המספר עצמו) הוא מספר ריבועי. המספר 81 שהזכרנו אותו הוא מספר כזה. מספר נוסף הוא 202=400 שסכום מחלקיו הוא 312=961.

אתגר דומה הוא למצוא מספר ריבועי שסכום מחלקיו (להוציא המספר עצמו) הוא מספר ריבועי. 9 הוא מספר ריבועי כזה שסכום מחלקיו הוא 22=3+1. גם סכום המחלקים של המספר 492=2401 הוא 1+7+49+343 = ‏202=400.

עוד שאלה שהציע אותה המתמטיקאי הצרפתי הנודע פרמה: איזה מספר מעוקב שסכום מחלקיו הוא מספר ריבועי. התשובה היא המספר 73=343, שסכום מחלקיו (כולל המספר עצמו) הוא 202=400. ישנם עוד מספרים כאלה, אבל הם כל כך גדולים שקשה לחשב את מחלקיהם בדרך רגילה ונוחה, ולכן לא מצאנו טעם להציגם כאן.

מתמטיקאים התחרו אלה באלה בהצבת אתגרים שונים ומשונים. לעתים הודות לתחרות זו נתגלו התגליות הפוריות ביותר במתמטיקה!

 

מכפלת המחלקים

כדי למצוא את המכפלה של המחלקים של מספר כלשהו N עלינו להעלות את המספר בחזקת מספר המחלקים המלא שלו p ולמצוא את השורש הריבועי של כל הסכום. הנוסחה היא אפוא √Np. לדוגמה: למספר 12 יש 6 מחלקים ומכפלתם שווה ל- 126=123=1728.

אם המספר הוא ריבועי מספר המחלקים שלו הוא אי-זוגי, אבל הנוסחה תתאים גם לו, כי קל מאוד למצוא שורש של מספר ריבועי. לדוגמה, למספר 16 יש 5 מחלקים: 1, 2, 4, 8, 6 והמכפלה שלהם היא 16545= √=1024  .

ברור שמכפלת המחלקים של מספר ראשוני היא המספר עצמו, וגם זה תואם את הנוסחה.

ישנם מספרים שמכפלת המחלקים שלהם נותנת את המספר עצמו בחזקה כלשהי.

מספר כזה הוא 12 שמכפלת מחלקיו (לא כולל המספר עצמו) היא חזקה שנייה של המספר עצמו: 144=122=6*4*3*2*1 וכן המספר 20 שמכפלת מחלקיו היא 400=202=10*5*4*2*1. מספר נוסף כזה הוא המספר 45. מכפלת מחלקיו של המספר 24 היא חזקה שלישית של המספר עצמו: 13,824=243=12*8*6*4*3*2*1. מספר דומה הוא המספר 40 שמכפלת מחלקיו היא 64,000=403. מכפלת מחלקיו של המספר 48 היא חזקה רביעית של המספר עצמו: 5,308,416=484=24*16*12*8*6*4*3*2*1. מספר דומה הוא המספר 80, שמכפלת מחלקיו היא 804.

ר' גם מספרים חברותיים
        מספרים ידידים

 

מתמטיקאים על ציר הזמן

מתמטיקאים -  משפטים, נוסחאות ועקרונות על ציר הזמן ההיסטורי.


תמונה 1
תמונה 2
תמונה 3
תמונה 4
תמונה 5
תמונה 6

מבט כולל

המשפט האחרון של פרמה
Fermat's Last Theorem

פייר דה פרמהPierre de Fermat  (1601‏-1665) היה עורך דין צרפתי שעבד בשירותו של בית-הנבחרים המחוזי של טולוז. רק בגיל שלושים הוא התחיל להתעניין במתמטיקה ועסק בה כחובבן. מסתבר שהיה חובבן שהשתווה בכישוריו לטובי המתמטיקאים של זמנו וגם של כל הזמנים, וזכה לכינוי "נסיך החובבנים".  בנוסף לכמה תגליות חשובות בתחום תורת המספרים, הוא פיתח סוג של הנדסה אנליטית כמה שנים לפני שדקרט עסק בזה, חקר את תורת ההסתברות במקביל לעבודותיו של פסקל בנושא זה, והניח כמה נדבכים בבניין הקלקולוס, שהשלימו אותו כמה שנים לאחר מכן לייבניץ וניוטון.

 

פרמה מיעט לפרסם את עבודותיו. למעשה הוא פרסם רק מאמר חשוב אחד בימי חייו, וגם זה רק חמש שנים לפני מותו. הידיעות שלנו על הישגיו המדעיים הגיעו אלינו מכתביהם של אחרים ומההתכתבות האינטנסיבית שהוא ניהל עם מיטב המתמטיקאים של אירופה דאז. הוא נהג להודיע על המסקנות שלו מחקירותיו מבלי לגלות את השיטות שבהן הוא נקט כדי להגיע אליהן. הוא, למשל, הכריז שיש בידו הוכחה לבעיה כלשהי, אבל את ההוכחה הוא לא גילה והשאיר לאחרים להתמודד אתה. ואכן כל המשפטים שהוא הציע או שהם הוכחו או שהם נסתרו על-ידי אחרים שבאו אחריו, ורק מה שמכונה "המשפט האחרון של פרמה" נשאר דורות על דורות ללא הוכחה, וזהו גם הטעם לכינוי.

 

הסיפור שלנו מתחיל בשנת 1670, חמש שנים אחרי מותו של פרמה. בנו, סמיאל, התכוון לפרסם את מכתביו ואת הערותיו שפיזר פרמה בשולי הספרים, ביניהם ספרו של המתמטיקאי היווני מהמאה השלישית דיופנטס. ספר זה, אריתמטיקה, יצא לאור בצרפתית בשנת 1621 והמתרגם פרסם את התרגום בצד המקור היווני. פרמה התעניין בספר, שעזר לו להיכנס לטרקלינה של תורת המספרים, והתעניינותו השתקפה בהערות הרבות שכתב בשולי הספר. כיוון שהערות אלה היו חשובות ומשמעותיות החליט הבן להוציא מהדורה מיוחדת של הספר, שתכלול בתוך הטקסט את הערותיו של אביו. אחת ההערות נרשמה בפרק ב' של הספר ליד בעיה מספר 8 שנוסחה כך: בטא מספר ריבועי אחד כסכום של שני מספרים ריבועיים אחרים. בשפת האלגברה של ימינו מבטאים את הבעיה כך: מצא את הערכים של x, y ו-z במשוואה הבאה:  x2 + y2 = z2. ליד בעיה זו רשם פרמה את ההערה הבאה: "מצד שני, אין  אפשרות לבטא מספר מעוקב כסכומם של שני מספרים מעוקבים, או לבטא מספר בחזקה רביעית כסכומם של שני מספרים המועלים בחזקה רביעית. באופן כללי, אין אפשרות לבטא מספר המועלה בחזקה שהיא גדולה משתיים כסכומם של שני מספרים המועלים באותה חזקה. יש בידי הוכחה מופלאה למשפט זה, אבל השוליים צרים מהכילה."

 

שוב, בשפת האלגברה של ימינו ניתן לנסח את הערתו של פרמה כך: אין שום אפשרות לפתור את המשוואה הבאה כאשר 2n>:

zn = xn + yn                                           

משפט זה כונה על-ידי מתמטיקאים המשפט האחרון של פרמה, כיוון שכל שאר המשפטים המתמטיים שבהם דן פרמה או שהוא הוכיח אותם בעצמו או שהם הוכחו או נסתרו בידי אחרים שבאו אחריו, ורק משפט זה נשאר ללא הוכחה. במובן זה, זהו המשפט האחרון שהיה עדיין טעון הוכחה.

 

פרמה עצמו הוכיח בשנים האחרונות של חייו שהמשוואה לא תוכל להתקיים אם  4=n. המתמטיקאי השוויצרי אוילר הראה שהיא לא תוכל להתקיים אם 3=n. כמה עשרות שנים לאחר מכן הוכח שהיא לא תוכל להתקיים אם 7, 5=n. מכאן והלאה החלו מתמטיקאים להוכיח את המשפט, לא לגבי מספרים בודדים שיוצבו במקום n אלא לגבי קבוצות של מספרים. בשנת 1847 הוכיח המתמטיקאי הגרמני ארנסט קומר  Kummer(1810‏-1893) שהמשפט נכון כאשר יוצבו במקום n כל המספרים הראשוניים הקטנים ממאה חוץ מאשר המספרים הראשוניים: 37, 59, 67. וכך נמשכו הניסיונות למצוא מספרים גדולים יותר שיאוששו את נכונותו של המשפט עד שהגענו לעידן המחשבים בשנות ה-70 של המאה העשרים, שגם הם תרמו להגדיל את קבוצת המספרים שתוצב במקום n במשוואה. בשנת 1976 הוכח שהמשפט נכון לגבי כל המספרים עד 125,000=n, ובשנת 1992 הוגדל טווח המספרים עד ארבעה מיליון!

 

הקושי במשפט פרמה הוא המספר האינסופי של המשוואות הדרושות כדי להוכיח אותו. שום מחשב לא יוכל להוכיח אותו באמצעות מספר סופי של מספרים שיוצבו במקום n. המחשב יכול להציב גבול עליון של המספרים, וגבול זה יגדל עם שכלול תוכנת החיפוש או שכלול החומרה שלו, אבל זה לעולם לא יספיק כדי להוכיח את המשפט. ההוכחה חייבת להיות מוחלטת ועונה על הדרישה ש-n כולל את כל המספרים מ-3 ועד אינסוף. זהו הקושי שמתמטיקאים לא הצליחו להתמודד אתו במשך 370 שנה (משערים שפרמה כתב את הערתו בשנת 1637), עד שהופיע מדען אנגלי צעיר מאוניברסיטת פרינסטון שבניו-ג'רזי בשם אנדרו ויילס (1953-   ), שהצליח להוכיח את המשפט.

 

סיפור ההוכחה מעניין ודרמטי לא פחות מאשר העניין והמסתורין שאפף את המשפט. במשך שבע שנים עבד ויילס לבדו על ההוכחה, תוך שמירה על סודיות גמורה. בתום שבע השנים הוא נשא ביוני 1993 באוניברסיטת קיימברידג' שבאנגליה סדרה של הרצאות שבהן הוא פירט לקהל את מה שהוא חשב כהוכחה סופית של המשפט. הקהל קם על רגליו והריע לו על ההישג המרשים. דרך ההוכחה הייתה מסובכת ומפותלת, והשתמשה במבנים וברעיונות של המתמטיקה המודרנית. ויילס ישב לכתוב את ההוכחה לפרסום, והנה הוא גילה פגם רציני בתהליך ההוכחה. במשך שנה שלמה הוא לא הצליח, יחד עם תלמידו לשעבר ריצ'רד טיילור, להתגבר על הקושי והיה קרוב מאוד לייאוש ולהודאה בכישלון, עד שביום אחד, בספטמבר 1994, הוא עלה באופן פתאומי ובלתי צפוי על הפתרון המיוחל. ויילס כותב: "הפתרון היה יפה באופן שלא יתואר. הוא היה כה פשוט וכה אלגנטי עד שיכולתי לשבת ולבהות בו במשך 20 דקות מבלי להאמין למראה עיניי..". בשנת 1995 פורסמה ההוכחה הארוכה בכתב העת היוקרתי Annals of Mathematics, ואחרי הפרסום החלו להרעיף עליו שפע של פרסים ממדינות שונות.

 

ראוי לציין שהכישלון הראשון של ויילס אינו מפתיע במיוחד או חריג במחקר המתמטי. בדרך כלל, הוכ